「変換」について

　私立 東京慈恵会医科大学 2013年 第4問

a,dはad≠0をみたす実数とする．Oを原点とする座標平面上において，行列A=(\begin{array}{cc}
a&-1\
0&d
\end{array})の表す1次変換（移動）をfとし，以下の2つの条件をみたす直線ℓがただ1つ存在するときを考える．
(i)ℓはOを通る．
(ii)fによって，ℓ上の点はすべてℓと垂直に交わるある直線m上に移される．
このとき，次の問いに答えよ．
(1)aとdの関係・・・

　私立 同志社大学 2013年 第1問

次の[]に適する数または式を記入せよ．
(1)行列A=(\begin{array}{cc}
cosα&sinα\
sinα&-cosα
\end{array})とB=(\begin{array}{cc}
cosβ&sinβ\
sinβ&-cosβ
\end{array})(0＜β＜α＜2π)の積ABの(1,1)成分はθ=α-βを用いて表すと[]となり，(1,2)成分はθを用いて表すと[]となる．ここで点P1(√2,√2)がABで表される1次・・・

　私立 杏林大学 2013年 第2問

動点P，Q，Rは，時刻t=0においてすべて点A(3,0)にあり，原点O(0,0)を中心とする半径3の円周上を反時計まわりに移動する．時刻tにおいて∠AOP=t，∠AOQ=2t，∠AOR=3tである．以下，tは0＜t＜πを満たすものとする．
(1)時刻tにおいて，三角形PQRの面積Sは，
S=[ア]sint-\frac{[イ]}{[ウ]}sin([エ]t)
と表わせる．面積Sはt=\frac{[オ]}・・・

　公立 公立はこだて未来大学 2013年 第7問

行列C=(\begin{array}{cc}
0&1/2\
-1/2&0
\end{array})について，以下の問いに答えよ．
(1)座標平面上の原点Oとは異なる点Aが，Cの表す1次変換によって点Bに移されたとする．線分OAの長さを|OA|，線分OBの長さを|OB|とするとき，\frac{|OB|}{|OA|}を求めよ．また，2つのベクトルベクトルOAとベクトルOBのなす角を求めよ．
(2)C,C2・・・

　公立 名古屋市立大学 2013年 第2問

逆行列をもつ行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})によって表される1次変換を考える．以下の問いに答えよ．
(1)この変換によってxy平面上の任意の2点P(x1,y1)およびQ(x2,y2)がそれぞれP´({x1}´,{y1}´)およびQ´({x2}´,{y2}´)に移されるとき，2点間の距離が変換によって変化しない，つまり，|ベクトルPQ|2=|\overrightarrow{P´Q´}|2であるための必要十分条・・・

　公立 札幌医科大学 2013年 第3問

曲線7x2+2√3xy+9y2=30上の点(x,y)に対して，変換
{\begin{array}{l}
X=xcosθ-ysinθ\
Y=xsinθ+ycosθ\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
を考える（ただし0≦θ≦π/2とする）．このときX,Yのみたす式は
a(θ)X2+b(θ)XY+c(θ)Y2=30
となる．ただし，a(θ)，b(θ)，c(θ)はθのみにより決まる定数である．いま，b(θ)=0をみたすθをθ_・・・

　公立 富山県立大学 2013年 第4問

a,b,c,dは実数とする．1次変換とは，座標平面上の任意の点(x,y)を同じ平面上の点(X,Y)に移す変換で，その変換の規則が(\begin{array}{c}
X\
Y
\end{array})=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})と表せるものである．このとき，行列(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})を1次変換を表す行列という．次の変換が，1次変換であるならばその1次変換を表す行列を求め，1次変換でない・・・

　公立 岐阜薬科大学 2013年 第4問

2点(2,1)，(1,1)をそれぞれ(3,-8)，(2,-5)に移す1次変換をfとするとき，次の問いに答えよ．
(1)fを表す行列Aを求めよ．
(2)A2,A3を求めよ．
(3)A+A2+A3+・・・+Anを求めよ．ただし，nは正の整数とする．

　公立 横浜市立大学 2013年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)a,b,cを実数として，A,B,Cを
A=a+b+c,B=a2+b2+c2,C=a3+b3+c3
とおく．このときabcをA,B,Cを用いて表せ．
(2)nを自然数とする．このとき
Σ_{k=0}^{n-1}\frac{\comb{2n}{2k+1}}{2k+2}
を求めよ．
(3)ボタンを押すとX，Y，Zいずれかの文字が画面に表示される機械がある．その機械では，XとYが表示される確率は，等しくかつZが表示される確率の2倍である，とする．いま，ボタンを5・・・

　公立 北九州市立大学 2013年 第4問

行列A=(\begin{array}{cc}
3&1\
1&2
\end{array})について，以下の問いに答えよ．ただし，EとOはそれぞれ2次の単位行列と零行列である．答えを導く過程も示すこと．
(1)行列Aに対して，等式A2-5A+5E=Oが成り立つことを示せ．
(2)行列Bについて，B=A4-3A3-3A2+2A+9Eのとき，行列Bを求めよ．
(3)行列Aの表す1次変換によって，直線2x-y+1=0上の点を移す．このとき，像を表す図形の方程式を求めよ．