「変換」について

　国立 愛知教育大学 2012年 第6問

0≦a≦1をみたすaに対してA=(\begin{array}{cc}
\sqrt{1-a2}&-a\
a&\sqrt{1-a2}
\end{array})とし，Aの表す1次変換によって，平面上の点(1,1)が，直線y=√3x上の点に移されるとする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)aの値を求めよ．
以下，aは(1)で求めた値とする．
\mon[(2)]A2を求めよ．
\mon[(3)]A^{2012}を求めよ．

　国立 東京農工大学 2012年 第1問

a,bは実数でb＞0とする．行列
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
-b&1-a
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
0&1\
1&0
\end{array})
がABAB=Eを満たしている．ただしEは2次の単位行列とする．次の問いに答えよ．
(1)bをaの式で表せ．
(2)nを自然数とする．An=Eを満たす最小のnを求めよ．
(3)座標平面上において，a=2のとき行列Aの表す1次変換をfとおく．点P(1,1)がfによって移る点をQとし，Qがfによって移・・・

　国立 福井大学 2012年 第4問

行列A=(\begin{array}{cc}
2&-3\
3&2
\end{array})で表される1次変換をfとする．fによって，点P0(1,0)が移る点をP1(x1,y1)，正の整数nに対して点Pn(xn,yn)が移る点をP_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})とする．原点をOとして，以下の問いに答えよ．
(1)cos∠PnOP_{n+1}の値を求めよ．
(2)2以上の整数nで，直線OPnが線分P0P1と交わる最小のnを求めよ．
(3)iを虚数単位とする．0で・・・

　国立 豊橋技術科学大学 2012年 第1問

座標平面上の点を，原点のまわりに角θだけ回転移動させる一次変換を表す2行2列の行列をAとする．以下の問いに答えよ．
(1)座標平面上の点P0(a,b)がAによって変換された点を点P1とする．2点P0，P1の間の長さを求めよ．
(2)An=Eとなる条件を示せ．ただし，nは2以上の整数，0≦θ≦π，Eは単位行列とする．
(3)座標平面上の点P0(a,b)がAによってl回変換された点を点Plとする．点P0がAによってn回・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第2問

Oを原点とする座標平面において，点(1,1)を点(5,5)に，点(1,-7)を点(-3,21)に移す1次変換をfとする．fによる点Pの像を点Qとするとき，Pに対して内積の条件
ベクトルOP・ベクトルPQ=0(*)
を考える．
(1)fを表す行列を求めよ．
(2)条件(*)を満たす点P(x,y)の軌跡は2直線となる．この2直線の方程式を求めよ．
実数a≧0に対して，
「点(a,0)を中心とする半径1の円周上の点Pで，条件(\a・・・

　私立 中央大学 2012年 第1問

次の問に答えよ．
(1)a＞0，a≠1，M＞0とする．aを底とするMの対数logaMの定義を述べよ．
(2)(1)で述べた定義に基づいて底の変換公式logaM=\frac{logbM}{logba}を証明せよ．ただし，a,b,Mは正の実数で，a≠1，b≠1である．
(3)mlog3p+nlog9q=2を満たす正の整数m,nが存在するような正の整数の組(p,q)をすべて求めよ．

　私立 慶應義塾大学 2012年 第1問

以下の文章の空欄に適切な数，式または行列を入れて文章を完成させなさい．ただし(2)において，適切な行列が複数個ある場合は，それらをすべて記入しなさい．
(1)a1=1，a2=4，a_{n+2}=-a_{n+1}+2an(n=1,2,3,・・・)によって定められる数列{an}の一般項はan=[あ]である．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})の表す1次変換により点B(1,1)と点C(1,0)はそれぞれ点B´と点C´に移されるとする・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第2問

以下の問いに答えなさい．
(1)関数f(x)=1/3cos3x-1/2cos2x+cosx(0＜x＜π)について考える．
(i)x=π/12のとき，f(x)の値f(π/12)を求めなさい．
(ii)関数f(x)の極値を求めなさい．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})によって表される座標平面上の点の移動（1次変換）fが条件
\vspace{2・・・

　私立 金沢工業大学 2012年 第5問

座標平面上において直線y=2xをℓとし，この直線ℓに関して対称な2点P(x,y)，Q(u,v)をとる．
(1)直線PQは直線ℓに垂直であるから
v-y=\frac{[アイ]}{[ウ]}(u-x)\qquad・・・・・・①
が成り立つ．
(2)点Pと点Qの中点は直線ℓ上にあるから
v+y=[エ](u+x)\qquad・・・・・・②
が成り立つ．
(3)等式①と②より，x,yとu,vの間に関係
(\begin{array}{c}
u\
v
\end{・・・

　私立 関西大学 2012年 第3問

A=(\begin{array}{cc}
a&-b\
b&a
\end{array})(b≠0)が表す1次変換をfとする．点P(c,0)(c＞0)を考える．次の問いに答えよ．
(1)次の[①]から[④]を数値でうめよ．
点Q(3,4)を，点R(1,2)を中心として反時計まわりにπ/3だけ回転した点の座標は
(\begin{array}{rr}
cosπ/3&-sinπ/3\\
sin\・・・