「変曲点」について

　国立 鳥取大学 2010年 第4問

関数f(x)=xe^{-x}について，次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，y=f(x)のグラフをかけ．
(2)曲線y=f(x)の接線で，点(-1/2,0)を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線y=f(x)で囲まれる図形の面積を求めよ．

　国立 鳥取大学 2010年 第3問

関数f(x)=xe^{-x}について，次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，y=f(x)のグラフをかけ．
(2)曲線y=f(x)の接線で，点(-1/2,0)を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線y=f(x)で囲まれる図形の面積を求めよ．

　国立 鹿児島大学 2010年 第4問

aを正の定数とし，関数
f(x)=(x-a)e^{-x}
について，次の各問いに答えよ．ただしeは自然対数の底である．
(1)関数f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)関数f(x)の第2次導関数f^{\prime\prime}(x)を求めよ．
(3)関数f(x)の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(4)nを正の整数とする．曲線y=f(x)とx軸および直線x=a+nとで囲まれた部分の面積Snをnとaで表せ．また，\lim_{n→∞}Snを求めよ．

　国立 浜松医科大学 2010年 第2問

3次関数f(x)=x3-3ax2(a＞0)と，曲線C:y=f(x)(-∞＜x＜∞)を考える．以下の問いに答えよ．
(1)y=f(x)の変曲点における接線の式を求めよ．
(2)曲線Cはこの変曲点に関して対称であることを示せ．
(3)b,cは実数とする．3次方程式x3-3ax2=bx-cが3つの解をもち，それらの解が等差数列をなすとき，cをa,bの式で表せ．
(4)(3)において，等差数列の公差が2√3に等しいとする．このとき，3次関数f(x)-bx+cの極値を求めよ．

　国立 山梨大学 2010年 第2問

f(x)=cosx+1/2sin2x(0≦x≦2π)とする．
(1)関数f(x)の最大値と最小値，および，それらを与えるxを求めよ．
(2)曲線y=f(x)の変曲点は4個あることを示せ．
(3)0≦x≦π/2において，2つの曲線y=f(x)とy=cosxで囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 豊橋技術科学大学 2010年 第3問

y=f(x)=(x+2)e^{-x}を曲線A，y=ax+2aを直線Bとする（ただし，aはa≠0の実数）．以下の問いに答えよ．
(1)f(x)の極値を求めよ．
(2)f(x)の増減表を示せ．ただし，f(x)の第2次導関数まで求め，変曲点も増減表に示せ．
(3)曲線Aが直線Bに接するとき，aの値を求めよ．
(4)曲線Aと直線Bが接するとき，曲線Aと直線Bおよびy軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ．

　私立 関西大学 2010年 第1問

関数f(x)=log(sinx+2)(0＜x＜2π)について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)の第1次導関数f´(x)と第2次導関数f^{\prime\prime}(x)を求めよ．
(2)f(x)の極値を求めよ．
(3)f(x)の変曲点を求め，y=f(x)のグラフの概形を座標平面上にかけ．
(4)kを実数の定数とするとき，0＜x＜2πにおけるlog(sinx+2)-k=0の解の個数を調べよ．

　公立 首都大学東京 2010年 第3問

整数の値をとる整数nの関数f(x),g(x)を
f(n)=1/2n(n+1),g(n)=(-1)n
で定め，その合成関数をh(n)=g(f(n))とする．さらに，1つのさいころを4回振って，出た目の数を順にj,k,l,mとしてa=h(j),b=h(k),c=h(l),d=h(m)とおき，関数
P(x)=ax3-3bx2+3cx-d
を考える．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)n=1,2,3,4,5,6に対して，h(n)の値を求めなさい．
(2)P(x)がある点で極値をとる関数になる確率を求めなさい．
(3)P(x)が点(1,P(1))を変曲・・・

　公立 兵庫県立大学 2010年 第1問

関数f(x)=(1-x)e^{2x}について，次の問いに答えよ．
(1)曲線C:y=f(x)の変曲点を求めよ．
(2)上で求めた変曲点と点(1,0)とを通る直線をℓとする．曲線Cと直線ℓとで囲まれる部分の面積を求めよ．

　公立 会津大学 2010年 第5問

関数y=(x-2)exのグラフをCとするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数y=(x-2)exの増減，極値，Cの凹凸，変曲点を調べて，Cを座標平面上に描け．ただし，\lim_{t→∞}\frac{t}{et}=0を用いてもよい．
(2)Cとx軸の共有点と，Cの変曲点を通る直線をℓとおく．Cとℓで囲まれた部分の面積を求めよ．