「外心」について

　公立 青森公立大学 2012年 第1問

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を記入せよ．



(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A(5,10)，B(-2,4)がある．∠　AOB　=θとするとき，cosθ=[ア]であり，sinθ=[イ]である．また，△　AOB　の面積は[ウ]であり，内接円の半径rは[エ]である．また，外接円の半径Rは[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．

(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順にa,b,c・・・

　国立 千葉大学 2011年 第6問

三角形ABCの外心をO，重心をGとする．
(1)ベクトルOG=1/3ベクトルOAが成り立つならば，三角形ABCは直角三角形であることを証明せよ．
(2)kがk≠1/3を満たす実数で，ベクトルOG=kベクトルOAが成り立つならば，三角形ABCは二等辺三角形であることを証明せよ．

　国立 信州大学 2011年 第3問

△ABCの外心をOとし，ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおく．|ベクトルa|=1とする．点Oに関する点Pの位置ベクトルがベクトルa+ベクトルb+ベクトルcであるとする．
(1)直線APと直線BCは垂直に交わることを示せ．
(2)ベクトルa・ベクトルb=-3/4とする．OP\paraABのとき，ベクトルc=sベクトルa+tベクトルbとなる実数s,tを求めよ．

　国立 信州大学 2011年 第6問

曲線y=ex上の点Aにおける接線と法線がx軸と交わる点を，それぞれB，Cとする．△ABCの面積が5のとき，△ABCの外心の座標を求めよ．

　国立 富山大学 2011年 第3問

実数tに対して，放物線y=x2上の3点A(t-1,(t-1)2)，B(t,t2)，C(t+1,(t+1)2)を頂点とする△ABCを考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)△ABCの外心のx座標をp(t)とおく．p(t)をtを用いて表せ．
(2)p(t)の極値を求めよ．

　国立 千葉大学 2011年 第10問

三角形ABCの外心をO，重心をG，内心をIとする．
(1)ベクトルOG=1/3ベクトルOAが成り立つならば，三角形ABCは直角三角形であることを証明せよ．
(2)kがk≠1/3を満たす実数で，ベクトルOG=kベクトルOAが成り立つならば，三角形ABCは二等辺三角形であることを証明せよ．
(3)ベクトルOI・ベクトルBC=0が成り立つならば，三角形ABCは二等辺三角形であることを証明せよ．

　国立 お茶の水女子大学 2011年 第4問

平面内に三角形ABCがある．その平面上で，1点Oを定めておく．次の問いに答えよ．
(1)三角形ABCの内部に点Pがあるとする．このとき，3つの三角形PBC，PCA，PABの面積の比がx:y:zであるならば，点Pの位置ベクトルベクトルOPは次のように表されることを示せ．
ベクトルOP=\frac{xベクトルOA+yベクトルOB+zベクトルOC}{x+y+z}
(2)三角形ABCの3辺の長さをa=　BC　,b=　CA　,c=　AB　とする．このとき三角形ABCの内心Iについて，その位置ベクトルベクトルOIを，ベクトルOA,ベクトルOB,ベクトルOCと・・・

　国立 旭川医科大学 2011年 第2問

平面上に正三角形でない鋭角三角形ABCが与えられている．辺BC，CA，ABの長さをそれぞれa,b,cとし，s=\frac{a+b+c}{2}とおく．さらに，辺BC，CA，ABをそれぞれs-c:s-b,s-a:s-c,s-b:s-aに内分する点をX，Y，Zとする．また，Oを原点とする．次の問いに答えよ．
(1)点NをベクトルON=\frac{(s-a)ベクトルOA+(s-b)ベクトルOB+(s-c)ベクトルOC}{s}と定義するとき，3直線AX，\ten{BY・・・

　私立 明治大学 2011年 第4問

平行四辺形ABCDを考える．辺ABと辺ADの長さは，それぞれ3,4で，∠ABCは60°であるとする．辺ADと辺BCの中点をそれぞれ，M，Nとおく．また，線分ANと線分BDの交点をPとし，線分CMと線分BDの交点をQとする．ベクトルa=ベクトルAB，ベクトルb=ベクトルBCとおく．以下の問に答えなさい．
(1)ベクトルAP=\frac{[ヘ]}{[ホ]}ベクトルa+\frac{[マ]}{\kakk・・・

　国立 福井大学 2010年 第4問

曲線C:y=ex上の点P(t,et)における接線をℓとし，ℓとx軸との交点をQとする．さらに，Qを通りℓに直交する直線とCとの交点をRとする．以下の問いに答えよ．
(1)点Qのx座標をtを用いて表せ．
(2)△PQRの外心がy軸上にあるときのtの値を求めよ．
(3)tを(2)で求めた値とするとき，直線PQ，QRとCとで囲まれる部分をx軸の周りに1回転して得られる回転体の体積を求めよ．