「多項式」について

　国立 熊本大学 2015年 第4問

f(x)はxの3次多項式とし，x3の係数は1，定数項は0とする．2つの異なる実数α,βに対してf´(α)=f´(β)=0が満たされているとする．以下の問いに答えよ．
(1)f(α),f(β)をα,βを用いて表せ．
(2)不等式α＜β＜3αが成り立つとき，3次方程式f(x)=-1の実数解の個数を求めよ．

　国立 熊本大学 2015年 第1問

f(x)はxの3次多項式とし，x3の係数は1，定数項は0とする．2つの異なる実数α,βに対してf´(α)=f´(β)=0が満たされているとする．以下の問いに答えよ．
(1)f(α),f(β)をα,βを用いて表せ．
(2)不等式α＜β＜3αが成り立つとき，3次方程式f(x)=-1の実数解の個数を求めよ．

　国立 名古屋大学 2015年 第3問

次の問に答えよ．
(1)(\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}})2を計算し，2重根号を用いない形で表せ．
(2)α=\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}とするとき，整数係数の4次多項式f(x)でf(α)=0となるもののうち，x4の係数が1であるものを求めよ．
(3)8つの実数
±\sqrt{13}±\sqrt{9+2\sqrt{17}}±\sqrt{9-2\sqrt{17}}
（ただし，複号±はすべての可能性にわたる）の中で，(2)で求めたf(x)に対して方程式f(x)・・・

　国立 名古屋大学 2015年 第2問

次の問に答えよ．
(1)α=\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}とするとき，整数係数の4次多項式f(x)でf(α)=0となるもののうち，x4の係数が1であるものを求めよ．
(2)8つの実数
±\sqrt{13}±\sqrt{9+2\sqrt{17}}±\sqrt{9-2\sqrt{17}}
（ただし，複号±はすべての可能性にわたる）の中で，(1)で求めたf(x)に対して方程式f(x)=0の解となるものをすべて求め，それ以外のものが解でないことを示せ．
(3)(2)で求めたf(x)=0の解の大小関係を調べ，そ・・・

　私立 立教大学 2015年 第1問

次の空欄[ア]～[コ]にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)空間内の3点A，B，CをA(0,1,1)，B(1,0,1)，C(2,2,0)とする．実数p,qを用いて点HをベクトルAH=pベクトルAB+qベクトルACで定める．原点をO(0,0,0)として，ベクトルOHがベクトルABとベクトルACの両方に垂直であるとき，p=[ア]，q=[イ]である．
(2)不等式x+3＜5|x-1|を満たす実数xの範囲は，x＜[ウ]またはx＞\kakko{エ・・・

　私立 慶應義塾大学 2015年 第1問

a＞0とし，関数f(x)を
f(x)=-acosx+1/2a2cos2x\qquad(-π＜x＜π)
と定める．
(1)f(x)の最小値は，a≦[ア]のとき[イ]であり，a≧[ア]のとき[ウ]である．ただし，[ア]には数，[イ]と[ウ]にはaの多項式を記入すること．
(2)曲線y=f(x)がx軸と接するのはa=[エ]のときである．
(3)a=[エ]とする．曲線y=f(x)とx軸で囲まれた部分の面積は[オ]であり，その部分をx軸の周りに1回転させ・・・

　私立 慶應義塾大学 2015年 第2問

次の[]にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．
(1)多項式f(x)=5x3-12x2+8x+1をx-1で割ったときの商g(x)はg(x)=[ケ]であり，余りは[コ]である．また，g(x)をx-1で割ったときの余りは[サ]である．
さらに，定数[コ]，[サ]，[シ]，[ス]を用いると，xについての恒等式
\frac{f(x)}{(x-1)4}=\frac{[コ]}{(x-1)4}+\frac{[サ]}{(x-1)3}+\frac{[シ]}{(x-1)2}+\frac{[ス]}{x-1}
が成り・・・

　私立 中央大学 2015年 第2問

実数の定数a(a≠1)，b,cに対し，多項式f(x)=ax3+2bx2+6x+cを考える．f(x)がx=aおよびx=1で極値を持つとき，以下の設問に答えよ．
(1)a,bの値をすべて求めよ．
(2)f(x)の極小値が3aであるとき，cの値を求めよ．

　国立 一橋大学 2014年 第3問

円C:x2+y2=1上の点Pにおける接線をℓとする．点(1,0)を通りℓと平行な直線をmとする．直線mと円Cの(1,0)以外の共有点をP´とする．ただし，mが直線x=1のときはP´を(1,0)とする．
円C上の点P(s,t)から点P´(s´,t´)を得る上記の操作をTと呼ぶ．
(1)s´,t´をそれぞれsとtの多項式として表せ．
(2)点Pに操作Tをn回繰り返して得られる点を\・・・

　国立 鹿児島大学 2014年 第2問

次の各問いに答えよ．
(1)a,b,cは互いに異なる実数で，a＞1，b＞1，c＞1とする．次の等式が成り立つとき，比log2a:log2b:log2cを求めよ．
log2a-log8b=log2b-log8c,\frac{log2a}{log8b}=\frac{log2b}{log8c}
(2)次の(i)，(ii)，(iii)に答えよ．
(i)t=x+1/xとおく．このとき，x2+\frac{1}{x2}とx3+\frac{1}{x3}をそれぞれtについての多項式で表せ．・・・