「多項式」について

　公立 京都府立大学 2013年 第3問

0≦a＜1とする．xy平面上の曲線Cをy=1+x\sqrt{1-x2}で，直線ℓをy=1+axで定める．Cとℓで囲まれた部分をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をaの関数と考えてV(a)とする．以下の問いに答えよ．
(1)-1≦x≦1とするとき，不等式2x\sqrt{1-x2}≧xを解け．
(2)V(a)をaを用いて多項式で表せ．
(3)Mn=1/2nΣ_{k=1}nV(k/2n)とするとき，\lim_{n→∞}Mnを求めよ．

　公立 横浜市立大学 2013年 第2問

aを正の定数とする．nを0以上の整数とし，多項式Pn(x)をn階微分を用いて
Pn(x)=\frac{dn}{dxn}(x2-a2)n(n≧1),P0(x)=1
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)n=2およびn=3に対して
P2(-a),P3(-a)
を求めよ．
(2)u=u(x)，v=v(x)を何回でも微分可能な関数とする．そのとき，{\bfライプニッツの公式}
(uv)^{(n)}=\comb{n}{0}u^{(n)}v+\comb{n}{1}u^{(n-1)}v´+・・・+\comb{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}+・・・+\comb{n}{n-1}u´v^{(n-1)}+\comb{n}・・・

　国立 京都大学 2012年 第4問

次の各問に答えよ．
(1)\sqrt[3]{2}が無理数であることを証明せよ．
(2)P(x)は有理数を係数とするxの多項式で，P(\sqrt[3]{2})=0を満たしているとする．このときP(x)はx3-2で割り切れることを証明せよ．

　国立 岡山大学 2012年 第4問

f(x)=4x(1-x)とする．このとき
{
\begin{array}{l}
f1(x)=f(x),\\
f_{n+1}(x)=fn(f(x))
\end{array}
.
によって定まる多項式fn(x)について以下の問いに答えよ．
(1)方程式f2(x)=0を解け．
(2)0≦t＜1を満たす定数tに対し，方程式f(x)=tの解をα(t),β(t)とする．cが0≦c＜1かつfn(c)=0を満たすとき，α(c),β(c)はf_{n+1}(x)=0の解であることを示せ．
(3)0≦x≦1範囲での方程式fn(x)=0の異なる解の個数をSnとする．・・・

　国立 三重大学 2012年 第4問

以下の問いに答えよ．
(1)関数y=x-e^{-x}の増減を調べよ．
(2)実数αでα-e^{-α}=0を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，このαは，0＜α＜1を満たすことを示せ．
(3)(2)のαと正の整数nに対して，
In=∫0^α(xe^{-nx}+αx^{n-1})dx
とおく．Inをαの多項式として表せ．また，\lim_{n→∞}n2Inを求めよ．

　国立 三重大学 2012年 第4問

以下の問いに答えよ．
(1)関数y=|x|-e^{-x}の増減を調べよ．
(2)実数αで|α|-e^{-α}=0を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，このαは，0＜α＜1を満たすことを示せ．
(3)(2)のαと正の整数nに対して，
In=∫0^α(xe^{-nx}+αx^{n-1})dx
とおく．Inをαの多項式として表せ．また，\lim_{n→∞}n2Inを求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)x＞0で
f(x)+∫1x\frac{f(t)}{t}dt=3x2-2x
を満たす多項式f(x)を求めよ．
(2)x＞0で(1)で求めたf(x)とg(x)=1+3logxを考える．このとき関数f(x)とg(x)のグラフをかけ．
(3)連立不等式
{
\begin{array}{l}
x＞0\\
0≦y≦1\\
g(x)≦y≦f(x)
\end{array}
.
を満たす領域の面積を求めよ．
(4)(3)で求めた領域をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 愛知教育大学 2012年 第5問

aを実数の定数とし，5次多項式f(x)=x5-5/3(a2+1)x3+5a2xを考える．ただし，a＞1とする．
(1)5次方程式f(x)=0が5つの異なる実数解をもつためのaの条件を求めよ．
(2)f(1)+f(a)が{(a+1)}3で割り切れるかどうかを調べよ．
(3)aが(1)の条件を満たすとき，|f(1)|＞|f(a)|となるためのaの範囲を求めよ．
(4)aが(1)と(3)の条件を満たすとき，5次方程式f(x)-c=0が5つの異なる実数解をもつための実数cの範囲を求めよ．

　国立 山梨大学 2012年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)多項式f(x)をx-1で割ると3余り，x-2で割ると2余るとき，f(x)を(x-1)(x-2)で割ったときの余りを求めよ．
(2)不等式0＜log(x2-4x+3)-log(x2-6x+8)＜log2を満たすxの範囲を求めよ．
(3)f(x)が等式f(x)=x2+∫0xf´(t)e^{t-x}dtを満たしているとき，f(x)を求めよ．

　私立 早稲田大学 2012年 第3問

実数係数のxの多項式で表された関数f(x)は，導関数f^{\prime}(x)がすべての実数xに対して
f´(x)＞0をみたし，かつ，f´(x)は極大値をもつとする．実数sに対して，点(s,f(s))における曲線y=f(x)の接線とx軸との交点のx座標をsの関数としてg(s)と表す．
(1)導関数g´(s)を求めよ．
(2)関数g(s)は極大値と極小値をもつことを示せ．