「多項式」について

　国立 佐賀大学 2011年 第2問

多項式f(x)=x4-x3+cx2-11x+dについて，f(1+√2)=0が成り立つとする．ここで，c,dは有理数とする．次の問いに答えよ．
(1)S={a+√2b\;|\;a,b　は有理数　}とする．集合Sの元z=a+√2b(ただし，a,bは有理数)に対して，j(z)=a-√2bと定義する．Sの任意の元z,wに対して，j(z+w)=j(z)+j(w)およびj(zw)=j(z)j(w)が成り立つことを示せ．
(2)(1)を用いて，Sの元zがf(z)=0を満たせば，f(j(z))=0が成り立つことを示せ．このことを用いて，f(1-√2・・・

　国立 佐賀大学 2011年 第2問

多項式f(x)=x4-x3+cx2-11x+dについて，f(1+√2)=0が成り立つとする．ここで，c,dは有理数とする．次の問いに答えよ．
(1)S={a+√2b\;|\;a,b　は有理数　}とする．集合Sの元z=a+√2b(ただし，a,bは有理数)に対して，j(z)=a-√2bと定義する．Sの任意の元z,wに対して，j(z+w)=j(z)+j(w)およびj(zw)=j(z)j(w)が成り立つことを示せ．
(2)(1)を用いて，Sの元zがf(z)=0を満たせば，f(j(z))=0が成り立つことを示せ．このことを用いて，f(1-√2・・・

　国立 お茶の水女子大学 2011年 第3問

xの多項式f(x)は
∫_{-1}1xf(x)dx=0,f(1)=f(-1)=0
を満たしているとする．
(1)このとき∫_{-1}1x2f´(x)dx=0を示せ．
(2)さらに多項式f(x)は3次以下で∫_{-1}1f(x)exdx=1を満たしているとする．このようなf(x)を求めよ．

　私立 早稲田大学 2011年 第3問

1回投げて表が出る確率p，裏が出る確率1-pのコインが1枚ある．このコインを1日に4回投げる試行をTとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)試行Tにおいて，2回以上表が出る確率Aを，pの多項式として降べきの順に表せ．
(2)試行Tを5日続ける試行をSとする．
(3)試行Sにおいて，5日間の中でちょうど3日だけ1日に2回以上表が出て，かつ，2日以上連続して1日に2回以上表が出る確率を，Aを用いて表せ．
(4)試行S・・・

　私立 甲南大学 2011年 第3問

aは実数とする．多項式f(x),g(x)が
f(x)=ax2+x+∫01g(t)dt,g(x)=-x2+2x+∫_{-1}1f(t)dt
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)∫01g(t)dt,∫_{-1}1f(t)dtの値をaを用いて表せ．
(2)方程式f(x)=g(x)が実数解をもつときのaの値の範囲を求めよ．
(3)g(2/3)=0のとき，2つの関数y=f(x)，y=g(x)のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．

　私立 上智大学 2011年 第4問

実数xに対し，xを超えない最大の整数を[x]で表す．
自然数n=1,2,3,・・・に対して，nが[√n]の整数倍で表せるとき，そのようなnを小さいものから順に並べて
n1,n2,n3,・・・
とする．
(1)n5=[マ]である．
(2)自然数pに対して，[√n]=pをみたす自然数nの集合をMpとする．Mpの要素でpの整数倍であるものは全部で[ミ]個ある．
(3)自然数mに対して，
Sm=Σ_{i=1}mni
とおく．k≧1のとき，S_{3k-2}・・・

　私立 広島修道大学 2011年 第3問

kを定数とし，関数f(x)=x3+3x2+3kx-4は，x=αで極大値をとり，x=βで極小値をとるとする．また，xについての多項式f(x)をxについての多項式f´(x)で割った余りをR(x)とするとき，次の各問に答えよ．
(1)余りR(x)を求めよ．
(2)f(α)=R(α)であることを示せ．
(3)極大値と極小値の和が0となるようなkの値を求めよ．

　私立 広島修道大学 2011年 第3問

kを定数とし，関数f(x)=x3+3x2+3kx-4は，x=αで極大値をとり，x=βで極小値をとるとする．また，xについての多項式f(x)をxについての多項式f´(x)で割った余りをR(x)とするとき，次の各問に答えよ．
(1)余りR(x)を求めよ．
(2)f(α)=R(α)であることを示せ．
(3)極大値と極小値の和が0となるようなkの値を求めよ．

　公立 島根県立大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)f(x)=x2+bx+c，g(x)=x2+(b+2)x+cとする．f(2011)=0かつg(2010)=-1のとき，bとcの値を求めよ．
(2)方程式3^{2x}-2・3^{x+1}=27を解け．
(3)sinα=1/3,cosβ=-1/2のとき，sin(α+β)，cos(α-β)，tan(α-β)の値を求めよ．ただし，0＜α＜π/2，π/2＜β＜πとする．
(4)多項式P(x)を(x-5)，(x-7)で割った余りがそれぞれ3,・・・

　公立 横浜市立大学 2011年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)関数
f(x)=xsin2x(0≦x≦π)
の最大値を与えるxをαとするとき，f(α)をαの分数式で表すと[1]となる．
(2)多項式
a4+b4+c4-2a2b2-2a2c2-2b2c2
を因数分解すると[2]となる．
(3)Nを与えられた自然数とし，f(x)およびg(x)を区間(-∞,∞)でN回以上微分可能な関数とする．f(x)とg(x)から定まる関数を次のように定義する．tを与えられた実数として，
\begin{array}{lll}
(f\a・・・