「媒介変数」について

　国立 琉球大学 2015年 第4問

tを媒介変数として，x=t+1/t+5/2，y=2t-2/tで表される曲線を考える．次の問いに答えよ．
(1)tを消去して，xとyの関係式を求めよ．
(2)aを定数とするとき，直線y=ax+5とこの曲線との共有点の個数を調べよ．

　国立 室蘭工業大学 2015年 第3問

aを定数とし，0＜a＜π/2とする．媒介変数tを用いて
{\begin{array}{l}
x=cos3t\
y=sin3t\phantom{2^{\mkakko{}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array}.(0≦t≦π/2)
と表される曲線をCとする．また，Cの0≦t≦aの部分の長さをLとする．
(1)Lをaを用いて表せ．ただし，LはL=∫0a\sqrt{(dx/dt)2+(dy/dt)2}dtと表される．
(2)・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第1問

関数f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x2}}について，次の問に答えよ．
(1)y=f(x)のグラフの概形を描け．
(2)t＞0を媒介変数として，x=f´(t)，y=f(t)-tf´(t)で表される曲線の概形を描け．
(3)(2)の曲線の接線がx軸とy軸によって切り取られてできる線分の長さは一定であることを示せ．

　公立 滋賀県立大学 2015年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)双曲線\frac{x2}{a2}-\frac{y2}{b2}=1（aとbは正の実数）のx＞0の部分をHとする．このとき，点(-a,0)を通る傾きtの直線とHとの交点を考えることにより，H上の点(x,y)のxとyをそれぞれtの分数式で表せ．
(2)(1)のやり方を用いて，y=\sqrt{x2-1}(x＞1)で表される曲線を媒介変数tの分数式で表示せよ．
(3)(2)の結果を用いて不定積分∫\frac{1}{\sqrt{x2-1}}dxを求めよ．

　国立 埼玉大学 2014年 第4問

xy平面上で，媒介変数θにより
x=\sqrt{cos2θ}cosθ,y=\sqrt{cos2θ}sinθ(-π/4≦θ≦π/4)
と表される曲線をCとする．
(1)曲線C上でy座標が最大となる点の座標を(p,q)とする．(p,q)を求めよ．
(2)曲線Cで囲まれた図形のうちx≧pの部分の面積を求めよ．ただし，pは(1)で求めたx座標である．

　国立 埼玉大学 2014年 第4問

実数a,bはa＞b＞0およびa2-b2=2abを満たすとする．xy平面上で(acosθ,bsinθ)(0≦θ≦2π)によって媒介変数表示された楕円をCとする．点P(bcost,asint)(0＜t＜π/2)とC上の動点Q(acosθ,bsinθ)に対し，f(θ)=|ベクトルPQ|2とおく．
(1)f´(θ)=0であるとき，sin2θ=sin(θ-t)が成り立つことを示せ．
(2)f´(θ)=0となるθをt・・・

　国立 佐賀大学 2014年 第4問

xy平面上にx=2cos2θ，y=2cos3θ(0≦θ≦π)と媒介変数表示された曲線Cを考える．このとき，次の問に答えよ．
(1)t=cosθとおいて，xとyをtの式で表せ．
(2)0≦θ≦π/2において，yをxの式で表せ．また，π/2≦θ≦πにおいて，yをxの式で表せ．
(3)曲線Cの概形を描け．

　国立 佐賀大学 2014年 第2問

xy平面上にx=2cos2θ，y=2cos3θ(0≦θ≦π)と媒介変数表示された曲線Cを考える．このとき，次の問に答えよ．
(1)0≦θ≦π/2において，yをxの式で表せ．また，π/2≦θ≦πにおいて，yをxの式で表せ．
(2)曲線Cの概形を描け．
(3)曲線Cが囲む領域の面積を求めよ．

　国立 鹿児島大学 2014年 第4問

次の各問いに答えよ．
(1)θを媒介変数として，
{\begin{array}{l}
x=θ-sinθ\
y=1-cosθ
\end{array}.
で表される曲線のθ=π/2に対応する点における接線の方程式を求めよ．
(2)2つの曲線y=e^{-x}+1，y=3(e^{-x}-1)の交点の座標を求めよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(3)(2)の2曲線とy軸で囲まれた図形をDとする．Dの面積を求めよ．
(4)(3)で与えられたDをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積・・・

　国立 鹿児島大学 2014年 第6問

cとdを0ではない実数とする．CとDをそれぞれsとtを媒介変数として
C:{\begin{array}{l}
x=\frac{c}{s2+c2}\\
y=\frac{s}{s2+c2}
\end{array}.D:{\begin{array}{l}
x=\frac{t}{t2+d2}\\
y=\frac{d}{t2+d2}
\end{array}.
で与えられる曲線とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)CとDは円から1点を除いた曲線になっている．それぞれの円を表す方程式と除かれる点を求めよ．・・・