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曲線Cは媒介変数t(0≦t≦2π)によって,x=t-sint,y=1-costと表される.
(1)xはtの関数として増加関数であることを示せ.
(2)0<t<2πのとき,dy/dxをtを用いた式で表せ.また,yのxに関する増減を調べよ.
(3)不定積分∫cos2tdtおよび∫cos3tdtを求めよ.
(4)曲線Cとx軸で囲まれた図形をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めよ.
国立 群馬大学 2014年 第5問座標平面上の曲線Cは媒介変数t(t≧0)を用いてx=t2+2t+log(t+1),y=t2+2t-log(t+1)と表される.C上の点P(a,b)におけるCの接線の傾きが\frac{2e-1}{2e+1}であるとする.ただし,eは自然対数の底である.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)aとbの値を求めよ.
(2)Qを座標(b,a)の点とする.直線PQ,直線y=xと曲線Cで囲まれた図形を,直線y=xの周りに1回転してできる立体の体積を求めよ.
国立 鳥取大学 2014年 第4問a,bを正の実数とする.xy平面内の楕円C:\frac{x2}{a2}+\frac{y2}{b2}=1上の点PにおけるCの接線をℓとする.Pを媒介変数表示によりP(acost,bsint)(0≦t<2π)とするとき,次の問いに答えよ.
(1)直線ℓの方程式を求めよ.
(2)tが0<t<π/2の範囲にあるとき,直線ℓに直交し,楕円C上の点Q(acosθ,bsinθ)(0<θ<π)でCに接する直線をmとする.接点Qの座・・・
私立 慶應義塾大学 2014年 第5問以下の[ト],[ナ],[ニ]には三角関数はsinθとcosθのみを用いて記入し,[ヌ]にはxの式,[ネ]にはyの式を記入すること.
座標平面上の2点(1,0),(0,1)を結ぶ曲線Cが媒介変数θを用いて
{\begin{array}{l}
x=f(θ)\
y=g(θ)
\end{array}.(0≦θ≦π/2)
と表されているとする.いま,関数f(θ),g(θ)は0≦θ≦・・・
私立 昭和薬科大学 2014年 第3問点A(2,1,-1)を通り,ベクトルベクトルu=(2,1,1)に平行な直線ℓ上の点をPとし,点B(-4,-2,2)を通り,ベクトルベクトルv=(-1,1,1)に平行な直線m上の点をQとする.
(1)点Pの座標を媒介変数sを用いて,また,点Qの座標を媒介変数tを用いて表せ.ただし,s=1のときP(4,2,0),t=1のときQ(-5,-1,3)とする.
(2)ベクトルPQが2直線ℓとmに直交するときのsとtの値を求めよ.
(3)2直線ℓとmと・・・
国立 筑波大学 2013年 第2問nは自然数とする.
(1)1≦k≦nを満たす自然数kに対して
∫_{\frac{k-1}{2n}π}^{k/2nπ}sin2ntcostdt=(-1)^{k+1}\frac{2n}{4n2-1}(cosk/2nπ+cos\frac{k-1}{2n}π)
が成り立つことを示せ.
(2)媒介変数tによって
x=sint,y=sin2nt(0≦t≦π)
と表される曲線Cnで囲まれた部分の面積Snを求めよ.ただし必要なら
Σ_{k=1}^{n-1}cosk/2nπ=1/2(\frac{1}{tan\display・・・
国立 山梨大学 2013年 第3問曲線Cは媒介変数t(0≦t≦π/2)によって,x=\sqrt{cost}cost/2,y=\sqrt{cost}sint/2と表される.
(1)0<t<π/2において,dx/dtおよびdy/dtを求めよ.
(2)x,yのtに関する増減を調べ,曲線Cの概形をかけ.
(3)曲線Cとx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ.
国立 琉球大学 2013年 第2問xy平面上の曲線Cは媒介変数θを用いて
x=2/3√3cosθ+\frac{√6}{3}sinθ,y=\frac{√3}{3}cosθ-\frac{√6}{3}sinθ(0≦θ≦π)
と表される.このとき,次の問いに答えよ.
(1)曲線Cを表すxとyの関係式を求め,xy平面に図示せよ.
(2)点(2,0)から曲線Cに引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ.
国立 群馬大学 2013年 第15問原点Oを中心とする半径2の円をAとする.半径1の円(以下,「動円」と呼ぶ)は,円Aに外接しながら,すべることなく転がる.ただし,動円の中心は円Aの中心に関し反時計回りに動く.動円上の点Pの始めの位置を(2,0)とする.動円の中心と原点を結ぶ線分がx軸の正方向となす角をθとして,θを0≦θ≦π/2の範囲で動かしたときのPの軌跡をCとする.
(プレビューでは図は省略します)
(1)Cを媒介変数θを用い・・・
国立 群馬大学 2013年 第16問座標平面上に原点O,点A(0,1),B(2√2,0)がある.0<t<1のとき,線分AO,OBをt:1-tに内分する点をそれぞれP,Qとし,線分PQをt:1-tに内分する点をRとする.また,t=0,t=1のとき,RはそれぞれA,Bに一致するものとし,tを0≦t≦1の範囲で動かしたときのRの軌跡をCとする.
(1)Cを媒介変数tを用いて表せ.
(2)点Rと原点Oの距離の最小値を求めよ.
\mon・・・