「媒介変数」について

　国立 浜松医科大学 2011年 第1問

2次曲線Cが媒介変数θを用いて，
x=3+5cosθ,y=2+3sinθ(0≦θ≦2π)
と表されている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線Cの方程式をx,yを用いて表せ．また，Cを座標平面上に図示せよ．
(2)曲線C上の点P(3+5cosθ,2+3sinθ)におけるCの接線ℓの方程式は，
\frac{cosθ}{5}(x-3)+\frac{sinθ}{3}(y-2)=1
となることを示せ．
(3)曲線Cの焦点をF1，F2とする．i=1,2に・・・

　私立 明治大学 2011年 第3問

次の空欄[ア]から[オ]に当てはまるものをそれぞれ入れよ．
関数f(t)は0＜t＜π/2において微分可能でf(t)＞0かつf´(t)＞0をみたすとする．またf(π/3)=2とする．
媒介変数表示{\begin{array}{l}
x=f(t)cost\
y=f(t)sint
\end{array}.(0＜t＜π/2)により定まる曲線をCとする．C上の点P(f(t)cost,f(t)sint)における接線とx軸・・・

　公立 名古屋市立大学 2011年 第4問

xy平面上において，媒介変数t(0≦t≦2π)によってx=2(1+cost)cost,y=2(1+cost)sintと表される下図の曲線について次の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)xの最大値，最小値を求めよ．
(2)dx/dtを求めよ．
(3)この曲線で囲まれる図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　公立 大阪府立大学 2011年 第5問

2つの関数f(t)=tlogtとg(t)=t3-9t2+24tが与えられているとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(t)はt≧1の範囲で単調に増加することを示せ．
(2)t≧1のとき
{
\begin{array}{l}
x=f(t)\\
y=g(t)
\end{array}
.
と媒介変数表示される関数y=h(x)のx≧0の範囲における増減を調べて，極大値と極小値を求めよ．
(3)xy平面上で，曲線y=h(x)，2直線x=f(2),x=f(4)とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 京都工芸繊維大学 2010年 第3問

関数f(t)=2(cost-sint),g(t)=cost+sintを用いて媒介変数表示された，xy平面上の曲線C:x=f(t),y=g(t)がある．点A(3/4,3/2)からC上の点P(f(t),g(t))までの距離APの2乗　AP　2をh(t)とおく．
(1)d/dth(t)=0となるtの値を0≦t≦2πの範囲ですべて求めよ．
(2)Cは楕円であることを示せ．
(3)PがC上を動くとき，APを最小にするPの座標，およびAPを最大にするPの座標を求めよ．