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次の問いに答えよ.
(1)aを実数とするとき,(a,0)を通り,y=ex+1に接する直線がただ1つ存在することを示せ.
(2)a1=1として,n=1,2,・・・について,(an,0)を通り,y=ex+1に接する直線の接点のx座標をa_{n+1}とする.このとき,\lim_{n→∞}(a_{n+1}-an)を求めよ.
国立 九州大学 2015年 第1問C1,C2をそれぞれ次式で与えられる放物線の一部分とする.
C1:y=-x2+2x,0≦x≦2
C2:y=-x2-2x,-2≦x≦0
また,aを実数とし,直線y=a(x+4)をℓとする.
(1)直線ℓとC1が異なる2つの共有点をもつためのaの値の範囲を求めよ.
以下,aが(1)の条件を満たすとする.このとき,ℓとC1で囲まれた領域の面積をS1,x軸とC2で囲まれた領域でℓの下側にある部分の面積をS2とする・・・
国立 神戸大学 2015年 第3問a,b,cを1以上7以下の自然数とする.次の条件(*)を考える.
\mon[(*)]3辺の長さがa,b,cである三角形と,3辺の長さが1/a,1/b,1/cである三角形が両方とも存在する.
以下の問に答えよ.
(1)a=b>cであり,かつ条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ.
(2)a>b>cであり,かつ条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ.
(3)条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ.
・・・
国立 神戸大学 2015年 第5問a,b,cを1以上7以下の自然数とする.次の条件(*)を考える.
\mon[(*)]3辺の長さがa,b,cである三角形と,3辺の長さが1/a,1/b,1/cである三角形が両方とも存在する.
以下の問に答えよ.
(1)a=b>cであり,かつ条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ.
(2)a>b>cであり,かつ条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ.
(3)条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ.
・・・
国立 東北大学 2015年 第2問xy平面において,3次関数y=x3-xのグラフをCとし,不等式
x3-x>y>-x
の表す領域をDとする.また,PをDの点とする.
(1)Pを通りCに接する直線が3本存在することを示せ.
(2)Pを通りCに接する3本の直線の傾きの和と積がともに0となるようなPの座標を求めよ.
国立 香川大学 2015年 第4問bをb>2√2を満たす実数とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)f(x)=x+(ex-b)exとするとき,方程式f(x)-a=0が異なる3個の実数解をもつような実数aの範囲を求めよ.
(2)実数aが(1)で求めた範囲にあるとする.このとき,点(a,b)を中心とする円で,曲線y=exと異なる4点で交わるものが存在することを示せ.
国立 弘前大学 2015年 第4問xy平面において,曲線C:x2+y2=1(x≧0,y≧0),および直線ℓ:y=(tanθ)xを考える.ただし,θは0<θ<π/2をみたす定数とする.S1,S2,S3を次によって定める.
S1:y軸,曲線C,直線ℓで囲まれた部分の面積
S2:x軸,曲線C,直線x=cosθで囲まれた部分の面積
S3:x軸,直線ℓ,直線x=cosθで囲まれた部分の面積
次の問いに答えよ.
\begin{enumerat・・・
国立 宮城教育大学 2015年 第4問f(x)=\frac{x}{(2x-1)(x-2)}とする.以下の問に答えよ.
(1)g(x)=2x3-6x+5とする.このとき,-3<α<-1かつg(α)=0をみたすαが存在することを示せ.さらに,x<αではg(x)<0であり,x>αではg(x)>0であることを示せ.
(2)(1)のαを用いて,関数y=f(x)の増減,極値,グラフの凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.
国立 信州大学 2015年 第2問次の3つの条件を満たす自然数の組(x,y,z)を考える.
(i)xは奇数である.
(ii)x2+y2=z2
(iii)x,y,zの最大公約数は1である.
例えば(x,y,z)=(3,4,5),(5,12,13)などがその例である.
(1)yは偶数であることを示せ.
(2)x=a2-b2,y=2abとなる自然数a,bが存在することを示せ.
(3)条件を満たす(x,y,z)で,(3,4,5)と(5,12,13)以外のものを2組求めよ.
\end{enu・・・
国立 信州大学 2015年 第1問次の3つの条件を満たす自然数の組(x,y,z)を考える.
(i)xは奇数である.
(ii)x2+y2=z2
(iii)x,y,zの最大公約数は1である.
例えば(x,y,z)=(3,4,5),(5,12,13)などがその例である.
(1)yは偶数であることを示せ.
(2)x=a2-b2,y=2abとなる自然数a,bが存在することを示せ.
(3)条件を満たす(x,y,z)で,(3,4,5)と(5,12,13)以外のものを2組求めよ.
\end{enu・・・