「存在」について

　国立 京都大学 2015年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)aを実数とするとき，(a,0)を通り，y=ex+1に接する直線がただ1つ存在することを示せ．
(2)a1=1として，n=1,2,・・・について，(an,0)を通り，y=ex+1に接する直線の接点のx座標をa_{n+1}とする．このとき，\lim_{n→∞}(a_{n+1}-an)を求めよ．

　国立 九州大学 2015年 第1問

C1，C2をそれぞれ次式で与えられる放物線の一部分とする．
C1:y=-x2+2x,0≦x≦2
C2:y=-x2-2x,-2≦x≦0
また，aを実数とし，直線y=a(x+4)をℓとする．
(1)直線ℓとC1が異なる2つの共有点をもつためのaの値の範囲を求めよ．
以下，aが(1)の条件を満たすとする．このとき，ℓとC1で囲まれた領域の面積をS1，x軸とC2で囲まれた領域でℓの下側にある部分の面積をS2とする・・・

　国立 神戸大学 2015年 第3問

a,b,cを1以上7以下の自然数とする．次の条件(*)を考える．
\mon[(*)]3辺の長さがa,b,cである三角形と，3辺の長さが1/a,1/b,1/cである三角形が両方とも存在する．
以下の問に答えよ．
(1)a=b＞cであり，かつ条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
(2)a＞b＞cであり，かつ条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
(3)条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
・・・

　国立 神戸大学 2015年 第5問

a,b,cを1以上7以下の自然数とする．次の条件(*)を考える．
\mon[(*)]3辺の長さがa,b,cである三角形と，3辺の長さが1/a,1/b,1/cである三角形が両方とも存在する．
以下の問に答えよ．
(1)a=b＞cであり，かつ条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
(2)a＞b＞cであり，かつ条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
(3)条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
・・・

　国立 東北大学 2015年 第2問

xy平面において，3次関数y=x3-xのグラフをCとし，不等式
x3-x＞y＞-x
の表す領域をDとする．また，PをDの点とする．
(1)Pを通りCに接する直線が3本存在することを示せ．
(2)Pを通りCに接する3本の直線の傾きの和と積がともに0となるようなPの座標を求めよ．

　国立 香川大学 2015年 第4問

bをb＞2√2を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)f(x)=x+(ex-b)exとするとき，方程式f(x)-a=0が異なる3個の実数解をもつような実数aの範囲を求めよ．
(2)実数aが(1)で求めた範囲にあるとする．このとき，点(a,b)を中心とする円で，曲線y=exと異なる4点で交わるものが存在することを示せ．

　国立 弘前大学 2015年 第4問

xy平面において，曲線C:x2+y2=1(x≧0,y≧0)，および直線ℓ:y=(tanθ)xを考える．ただし，θは0＜θ＜π/2をみたす定数とする．S1,S2,S3を次によって定める．
S1:y軸，曲線C，直線ℓで囲まれた部分の面積
S2:x軸，曲線C，直線x=cosθで囲まれた部分の面積
S3:x軸，直線ℓ，直線x=cosθで囲まれた部分の面積
次の問いに答えよ．
\begin{enumerat・・・

　国立 宮城教育大学 2015年 第4問

f(x)=\frac{x}{(2x-1)(x-2)}とする．以下の問に答えよ．
(1)g(x)=2x3-6x+5とする．このとき，-3＜α＜-1かつg(α)=0をみたすαが存在することを示せ．さらに，x＜αではg(x)＜0であり，x＞αではg(x)＞0であることを示せ．
(2)(1)のαを用いて，関数y=f(x)の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．

　国立 信州大学 2015年 第2問

次の3つの条件を満たす自然数の組(x,y,z)を考える．
(i)xは奇数である．
(ii)x2+y2=z2
(iii)x,y,zの最大公約数は1である．
例えば(x,y,z)=(3,4,5),(5,12,13)などがその例である．
(1)yは偶数であることを示せ．
(2)x=a2-b2,y=2abとなる自然数a,bが存在することを示せ．
(3)条件を満たす(x,y,z)で，(3,4,5)と(5,12,13)以外のものを2組求めよ．
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　国立 信州大学 2015年 第1問

次の3つの条件を満たす自然数の組(x,y,z)を考える．
(i)xは奇数である．
(ii)x2+y2=z2
(iii)x,y,zの最大公約数は1である．
例えば(x,y,z)=(3,4,5),(5,12,13)などがその例である．
(1)yは偶数であることを示せ．
(2)x=a2-b2,y=2abとなる自然数a,bが存在することを示せ．
(3)条件を満たす(x,y,z)で，(3,4,5)と(5,12,13)以外のものを2組求めよ．
\end{enu・・・