「存在」について

　私立 慶應義塾大学 2012年 第5問

a＞0とし，xの3次関数f(x)を
f(x)=x3-5ax2+7a2x
と定める．また，t≧0に対し，曲線y=f(x)とx軸および2直線x=t，x=t+1で囲まれた部分の面積をS(t)で表す．
(1)S(0)=[ト]である．
(2)f(x)はx=[ナ]で極小値をとる．曲線y=f(x)上にあり，xの値[ナ]に対応する点をPとする．aの値が変化するとき，点Pの軌跡は曲線y=[ニ](x＞0)である．
(3)S(t)=S(0)を満たす正の実数tが存在するようなaの値の範囲を不等式で表すと・・・

　私立 早稲田大学 2012年 第4問

円Cとその内部の点P0が与えられている．初めP0にある動点が，円周上の点P1まで線分P0P1上を動き，P1からは，P1における円Cの接線ℓ1と線分P0P1のなす角がℓ1と線分P1P2のなす角に等しくなるように向きを変えて，円周上の点P2まで線分P1P2上を動く（図例1）．以下，自然数nについて，円周上の点Pnに至ったあとは，Pnにおける円Cの接線ℓnと線分P_{n-1}P_・・・

　私立 上智大学 2012年 第3問

日本全国から6つの市を選ぶ．その6つの市に関する条件(A)～(G)を考える．
\mon[(A)]6つの市の中に，人口10万人以上の市が存在する．
\mon[(B)]6つの市の中に，人口10万人以上の市がただ1つ存在する．
\mon[(C)]6つの市の中に，人口10万人以上の市が2つ以上存在する．
\mon[(D)]6つの市の人口はすべて10万人以上である．
\mon[(E)]6つの市の中に，人口10万人未満の市が存在する．
\mon[(F)]6つの市の人口はすべて10万・・・

　私立 上智大学 2012年 第2問

aを実数とし，放物線C:y=x2-2ax+4aを考える．
(1)Cが直線y=-6xと接するのは，a=[タ]またはa=[チ]のときである．ただし，[タ]＜[チ]とする．
(2)aがすべての実数を動くとき，Cの頂点の軌跡の方程式は
y=[ツ]x2+[テ]x+[ト]
である．
(3)Cが点(x,y)を通るようなaが存在するための必要十分条件は
\bigg(x[あ][ナ]\bigg)[い]\bigg(y[う][ニ]\bigg)
である．
・・・

　私立 法政大学 2012年 第2問

f(x)=x2-5として，数列{an}を次のように定義する．\\
a1=3，点(an,f(an))における曲線y=f(x)の接線がx軸と交わる点のx座標をa_{n+1}とする(n=1,2,3,・・・)。\\
次の問いに答えよ．
(1)a_{n+1}をanで表せ．
(2)命題P(n)を\lceil√5＜a_{n+1}＜an\rfloorとするとき，すべての正の整数nに対してP(n)が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)次の不等式が共に成り立つ1より小さい正の数rが存在することを示せ．
\mon・・・

　私立 自治医科大学 2012年 第23問

曲線y=x3+6x2+6x-2において，傾きが6となる接線は2つ存在する．2つの接線をy=6x+a，y=6x+bと表記するとき，\frac{a+b}{4}の値を求めよ．

　私立 慶應義塾大学 2012年 第2問

次の[]にあてはまる最も適当な数または式を記入しなさい．
(1)多項式P(x)をx3+1で割ったときの余りが2x2+13xであった．このとき，P(x)をx+1で割ったときの余りは[カ]である．また，P(x)をx2-x+1で割ったときの余りは[キ]である．
(2)数列{an}の初項から第n項までの和Snが，
Sn=n3+2012
で与えられるとする．この数列{an}の初項a1はa1=[ク]である．また，2以上の自然数nに対して，anをnを用いて表すとan=[ケ]となる．
\mo・・・

　私立 上智大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)△OABに対し，
ベクトルOP=sベクトルOA+tベクトルOB,s≧0,t≧0
とする．また，△OABの面積をSとする．
(i)1≦s+t≦3のとき，点Pの存在しうる領域の面積はSの[ア]倍である．
(ii)1≦s+2t≦3のとき，点Pの存在しうる領域の面積はSの[イ]倍である．
(2)(√2)nはnが奇数のとき無理数である．よ・・・

　私立 中央大学 2012年 第1問

次の問に答えよ．
(1)a＞0，a≠1，M＞0とする．aを底とするMの対数logaMの定義を述べよ．
(2)(1)で述べた定義に基づいて底の変換公式logaM=\frac{logbM}{logba}を証明せよ．ただし，a,b,Mは正の実数で，a≠1，b≠1である．
(3)mlog3p+nlog9q=2を満たす正の整数m,nが存在するような正の整数の組(p,q)をすべて求めよ．

　私立 東京理科大学 2012年 第2問

s,tを実数とし，0＜s＜1とする．座標空間内の3点
\begin{array}{l}
P((2-s)+scost,0,(2-s)+ssint),\\
Q(\frac{2-s}{√2}+\frac{s}{√2}cost,\frac{2-s}{√2}+\frac{s}{√2}cost,(2-s)+ssint),\\
R(0,0,(2-s)+ssint)
\end{array}
について，次の問いに答えよ．
(1)P，Q，Rを含む平面の方程式を求めよ．
(2)RP=RQを示せ．
点Q・・・