「存在」について

　私立 法政大学 2012年 第2問

直線y=5x-9をℓとおく．また，kは実数の定数とする．
(1)放物線y=x2+ax-3の頂点がℓ上にあるような実数aの値をすべて求めよ．
(2)放物線y=x2+ax+kの頂点がℓ上にあるような実数aが少なくとも1つ存在するためのkに関する条件を求めよ．
(3)実数の定数a1とa2に対し，放物線y=x2+a1x+kとy=x2+a2x+kの頂点がともにℓ上にあり，それら2頂点の間の距離が13であるとき，kの値を求めよ．

　私立 法政大学 2012年 第4問

0≦θ＜2πとする．
(1)sinθ-√3cosθ≧-1を満たすθの値の範囲を求めよ．
(2)(1)で求めた範囲のθについて，4cos3θ+3√3cos2θの最大値と最小値を求めよ．また，そのときのθの値を求めよ．
(3)kは実数の定数とする．4cos3θ+3√3cos2θ=kかつsinθ-√3cosθ≧-1を満たすθが，ちょうど3個存在するような，kの値の範囲を求めよ．

　私立 獨協大学 2012年 第1問

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．
(1){(2x+3y)}3+{(2x-3y)}3を展開すると[1]になる．
(2)-1＜a＜0＜b＜cとするとき，
-a/c,a/c,1/ac,-1/ab,-1/ac
の5つの数のうち，小さい方から2番目の数は[2]であり4番目の数は[3]である．
(3)π/2≦θ＜\frac{3π}{2}のときに
2sin3θ-sinθ=0
の解をすべて記すと[4]である．
(4)a,・・・

　私立 近畿大学 2012年 第2問

f(x)=x2-4x+7とし，放物線y=f(x)上の2点A(t,f(t))，B(t+a,f(t+a))(a＞0)におけるy=f(x)の接線をそれぞれℓA，ℓBとする．またℓAとℓBの交点をPとする．
(1)点Pの座標は
(t+\frac{a}{[ア]},t^{[イ]}+(a-[ウ])t-[エ]a+[オ])
である．このことから，tが変化するとき，点Pは曲線
y=x^{[カ]}-[キ]x-\frac{a^{[ク]}}{[ケ]}+[コ]・・・

　私立 近畿大学 2012年 第2問

f(x)=x2-4x+7とし，放物線y=f(x)上の2点A(t,f(t))，B(t+a,f(t+a))(a＞0)におけるy=f(x)の接線をそれぞれℓA，ℓBとする．またℓAとℓBの交点をPとする．
(1)点Pの座標は
(t+\frac{a}{[ア]},t^{[イ]}+(a-[ウ])t-[エ]a+[オ])
である．このことから，tが変化するとき，点Pは曲線
y=x^{[カ]}-[キ]x-\frac{a^{[ク]}}{[ケ]}+[コ]・・・

　公立 大阪府立大学 2012年 第4問

aを正の定数とする．実数の変数xの関数f(x)=(x+a)e^{2x2}について，以下の問いに答えよ．
(1)一階導関数f´(x)はある多項式g(x)によりf´(x)=g(x)e^{2x2}と表され，二階導関数f^{\prime\prime}(x)はある多項式h(x)によりf^{\prime\prime}(x)=h(x)e^{2x2}と表される．g(x),h(x)を求めよ．
(2)関数f(x)が極大値と極小値をもつためのaの値の範囲を求めよ．
(3)aが(2)で求めた範囲にあるとする．関数f(x)が極大値をとるxの値をαとし，極小値をとるxの値をβと・・・

　公立 兵庫県立大学 2012年 第5問

xy平面上の4点O(0,0)，A(a,0)，B(0,b)，および，C(a,b)\
(0＜a＜b)を頂点とする長方形OACBと，辺OA上の定点\
S(s,0)(0＜s＜a)を考える．次の問に答えなさい．
\img{562272020121}{25}

(1)辺AC，CB，BO上に各々点T，U，Vを適切にとれば，四角形\
STUVは長方形となる．このとき，AT=tとして，tが満たすべ\
き条件をa,b,s,tを用いて表し・・・

　公立 宮城大学 2012年 第4問

数直線上の点Pを，サイコロを投げ，偶数の目が出たら正の方向に出た目の数だけ動かし，奇数の目が出たら負の方向に出た目の数だけ動かす．Pを最初原点0に置き，サイコロを2回投げたとき，Pの位置する場所について，次の問いに答えよ．ただし，サイコロは1から6までのどの目も同じ確率で出るものとする．
(1)Pが位置する可能性がある点（存在する確率が正の点）をすべて書け．
(2)Pが位置する可能性が最も高い点を求めよ．
(3)Pの座標の期待値を求めよ．
\end{・・・

　公立 奈良県立医科大学 2012年 第4問

整数mが与えられたとき，xに関する整数係数の2つの整式f(x)，g(x)が関係式
f(x)\equivg(x)±odm
を満たすとは，等式f(x)-g(x)=mh(x)を満たすような整数係数の整式h(x)が存在することである．
(1)f(x),g(x),F(x),G(x)を整数係数の整式とする．もし，ある整数mについて関係式f(x)\equivg(x)±odm，かつF(x)\equivG(x)±odmが満たされるならば，関係式f(x)+F(x)\equivg(x)+G(x)±odm，かつf(x)F(x)\equivg(x)G(x)±odmが満たされることを証明せよ．
(2)正整・・・

　国立 京都大学 2011年 第6問

空間内に四面体ABCDを考える．このとき．4つの頂点A，B，C，Dを同時に通る球面が存在することを示せ．