「存在」について

　国立 一橋大学 2011年 第3問

xy平面上に放物線C:y=-3x2+3と2点A(1,0)，P(0,3p)がある．線分APとCは，Aとは異なる点Qを共有している．
(1)定数pの存在する範囲を求めよ．
(2)S1を，Cと線分AQで囲まれた領域とし，S2を，C，線分QP，およびy軸とで囲まれた領域とする．S1とS2の面積の和が最小となるpの値を求めよ．

　国立 名古屋大学 2011年 第3問

xy平面上に3点O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)がある．
(1)a＞0とする．　OP　:　AP　=1:aを満たす点Pの軌跡を求めよ．
(2)a＞1＞b＞0とする．　OP　:　AP　:　BP　=1:a:bを満たす点Pが存在するためのa,bに対する条件を求め，ab平面上に図示せよ．

　国立 東北大学 2011年 第5問

aを実数，zを0でない複素数とする．zと共役な複素数を\overline{z}で表す．
(1)次を満たすzを求めよ．
z-1-a/z=0
(2)次を満たすzが存在するようなaの範囲を求めよ．
\overline{z}+1-a/z=0
(3)次を満たすzが存在するようなaの範囲を求めよ．
z(\overline{z})2+\overline{z}-a/z=0

　国立 東京大学 2011年 第6問

次の問いに答えよ．
(1)x,yを実数とし，x＞0とする．tを変数とする2次関数f(t)=xt2+ytの0≦t≦1における最大値と最小値の差を求めよ．
(2)次の条件を満たす点(x,y)の全体からなる座標平面内の領域をSとする．\\
x＞0かつ，実数zで0≦t≦1の範囲の全ての実数tに対して
0≦xt2+yt+z≦1
を満たすようなものが存在する．\\
Sの概形を図示せよ．
(3)次の条件を満たす点(x,y,z)全体からなる座標空間内の領域をVとする．\\
0≦x≦1かつ・・・

　国立 岡山大学 2011年 第1問

tを実数とする．行列A=(\begin{array}{cc}
t&t-1\\
1-t&2-t
\end{array})について，次の問いに答えよ．
(1)Aの逆行列A^{-1}が存在することを示せ．
(2)A+A^{-1},A-A^{-1},(A-A^{-1})2を求めよ．
(3)A^{2n}-tAn(n=1,2,3,・・・)がnによらない行列になるという．このときのtの値を求めよ．

　国立 大阪大学 2011年 第4問

a,b,cを正の定数とし，xの関数f(x)=x3+ax2+bx+cを考える．以下，定数は全て実数とする．
(1)定数p,qに対し，次をみたす定数rが存在することを示せ．
x≧1　ならば　|px+q|≦rx
(2)恒等式(α-β)(α2+αβ+β2)=α3-β3を用いて，次をみたす定数k,lが存在することを示せ．
x≧1　ならば　|\sqrt[3]{f(x)}-x-k|≦l/x
(3)すべての自然数nに対して，\sqrt[3]{f(n)・・・

　国立 静岡大学 2011年 第2問

自然数a,bに対して，a=bq+r,0≦r≦b-1を満たす整数q,rがただ1組存在する．このときqはaをbで割った商，rはaをbで割った余りという．自然数a0,a1が与えられたとき，数列{an},{qn}は次の性質を満たすものとする．
\mon[(i)]qnはa_{n-1}をanで割った商
\mon[(ii)]\biggl(\begin{array}{c}
an\\
a_{n+1}
\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{cc}
0&1\\
1&-qn
\end{array}\biggr)\biggl(\begin{array}{c}
a_{n-1}\\
a_{n}
\end{array}\bi・・・

　国立 広島大学 2011年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)log23=m/nを満たす自然数m,nは存在しないことを証明せよ．
(2)p,qを異なる自然数とするとき，plog23とqlog23の小数部分は等しくないことを証明せよ．
(3)log23の値の小数第1位を求めよ．

　国立 広島大学 2011年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)log23=m/nを満たす自然数m,nは存在しないことを証明せよ．
(2)p,qを異なる自然数とするとき，plog23とqlog23の小数部分は等しくないことを証明せよ．
(3)log23の値の小数第1位を求めよ．

　国立 名古屋大学 2011年 第3問

xy平面上に3点O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)がある．
(1)a＞0とする．　OP　:　AP　=1:aを満たす点Pの軌跡を求めよ．
(2)a＞0,b＞0とする．　OP　:　AP　:　BP　=1:a:bを満たす点Pが存在するためのa,bに対する条件を求め，ab平面上に図示せよ．