「存在」について

　国立 富山大学 2011年 第2問

pを実数とする．すべての実数xに対して
u(x)=x2+p∫01(1+tx)u(t)dt
をみたす関数u(x)が存在するとき，次の問いに答えよ．
(1)u(x)は2次関数であることを示せ．
(2)p≠8+2\sqrt{13}かつp≠8-2\sqrt{13}であることを示せ．

　国立 島根大学 2011年 第2問

数列{an}と{bn}を
a1=3,b1=3/2,a_{n+1}=bn,b_{n+1}=\frac{an+bn}{2}(n≧1)
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)すべてのn≧1に対してa_{n+1}+αb_{n+1}=β(an+αbn)が成り立つα,βの値の組をすべて求めよ．
(2)数列{an}の一般項を求めよ．
(3)an=2となる自然数nの存在性を調べよ．

　国立 山口大学 2011年 第1問

2つの関数y=ax2+b,y=|(x-1)(x+1)|のグラフが共有点をもつための必要十分条件をa,bを用いて表し，点(a,b)の存在する領域を座標平面上に図示しなさい．

　国立 富山大学 2011年 第2問

pを実数とする．すべての実数xに対して
u(x)=x2+p∫01(1+tx)u(t)dt
をみたす関数u(x)が存在するかどうかを考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)もしこのようなu(x)が存在すれば，u(x)は2次関数であることを示せ．
(2)このようなu(x)が存在しないようなpの値をすべて求めよ．

　国立 三重大学 2011年 第4問

関数f(x)=-1/2x+tanx,g(x)=xcos(x2)について以下の問いに答えよ．
(1)0＜α＜π/2の範囲にあるαでf(α)=0となるものがただひとつ存在することを示せ．
(2)閉区間[\;0,\sqrt{π/2}\;]におけるg(x)の増減表を書け．必要ならば(1)のαを用いてよい．
(3)0＜β＜\sqrt{π/2}の範囲にありg^{\prime}(β)=0を満たすβを(1)のαを用いて表せ．ま・・・

　国立 東京医科歯科大学 2011年 第2問

座標平面において，原点をOとし，次のような3点P，Q，Rを考える．
\mon[(a)]点Pはx軸上にあり，そのx座標は正である．
\mon[(b)]点Qは第1象限にあって，　OQ　=　QP　=1を満たす．
\mon[(c)]点Rは第1象限にあって，　OR　+　RP　=2を満たし，かつ線分RPがx軸に垂直となる．
ただし，座標軸は第1象限に含めないものとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)上の条件を満たす2点Q，Rが存在するような，点Pのx座標が取りうる値の範囲を求めよ．
(2)(1)の範・・・

　国立 群馬大学 2011年 第1問

斜辺の長さがa，面積がbである直角三角形が存在するとき，座標平面上の点(a,b)の存在範囲を図示せよ．

　国立 茨城大学 2011年 第2問

点A，BをA(-1,5)，B(2,-1)とする．実数a,bについて直線y=(b-a)x-(3b+a)が線分ABと共有点をもつとする．点P(a,b)の存在する領域を図示せよ．

　国立 宮崎大学 2011年 第5問

方程式tanx=xについて，次の各問に答えよ．ただし，必要であれば，0＜x＜π/2を満たすxについて，不等式sinx＜x＜tanxが成り立つことを用いてもよい．
(1)各自然数nについて，nπ-π/2＜x＜nπ+π/2の範囲に方程式tanx=xの解がただ1つ存在することを示せ．
(2)各自然数nについて，(1)で存在が示された解をxnとする．このとき，極限値\lim_{n→∞}n(nπ+π/2-xn)を求めよ．

　国立 山口大学 2011年 第4問

2つの関数y=ax2+b,y=|(x-1)(x+1)|のグラフが共有点をもつための必要十分条件をa,bを用いて表し，点(a,b)の存在する領域を座標平面上に図示しなさい．