「存在」について

　国立 京都教育大学 2011年 第5問

放物線C:y=-x2+1上の異なる2点A(a,-a2+1)，B(b,-b2+1)におけるそれぞれの接線ℓ,mが直交するとする．次の問に答えよ．
(1)任意の実数rに対して
α+β=r,αβ=-1/4
をみたす実数α,βが存在することを示せ．
(2)AとBが上の条件をみたしながら動くとき，直線ABがAとBの取り方によらず常に通る点の座標を求めよ．
(3)ℓとmの交点の軌跡を求めよ．

　国立 滋賀医科大学 2011年 第3問

文字x,y,zの任意の整式Aに対して，x,y,zをそれぞれsinθ,cosθ,tanθに置き換えて得られるθの関数を\widetilde{A}(θ)で表す．例えば，
\begin{array}{lll}
P=x5+z4-xyz&　ならば　&\widetilde{P}(θ)=sin5θ+tan4θ-sinθcosθtanθ,\\
P=x2+y2,Q=1&　ならば　&\widetilde{P}(θ)=sin2θ+cos2θ=1=\widetilde{Q}(θ)
\end{array}
である．ただしθの関数の定義域は0≦・・・

　国立 東京海洋大学 2011年 第3問

三角形OABにおいて，次を証明せよ．
(1)ベクトルベクトルOA+tベクトルOBとベクトルベクトルOB+tベクトルOAの長さが等しくなるような±1以外の実数tが存在することはOA=OBであるための必要十分条件である．
(2)ベクトルベクトルOA+tベクトルOBとベクトルベクトルOB+tベクトルOAが垂直になるようなt＜-1である実数tが存在することは∠AOB＜90°であるための必要十分条件である．

　私立 早稲田大学 2011年 第4問

a＞0とし，x-y平面上に3点O(0,0)，A(a,0)，P(x,y)をとる．lを与えられた正定数として，Pが
2　PO　2+　PA　2=3l2\dotnum{*}
をみたすとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)\maru{*}をみたすPの集合が空集合とならないためのaの条件を求め，そのときのP(x,y)の軌跡を表す方程式を求めよ．
(2)3点O,A,Pが一直線上にないようなPが存在するとき，OAを軸として，△POAを回転して立体をつくる．この立体の体積が最大になるときのPのx座標と最大の体積Vを，・・・

　私立 明治大学 2011年 第1問

長方形ABCDは，各辺の長さが整数で，面積が1728である．またAB＜BCであるとする．下記の空欄内の各文字に当てはまる数字を答えよ．
(1)長方形ABCDは[ア][イ]通り存在する．
(2)可能な長方形についてAB+BCの総和は\kakkofour{ウ}{エ}{オ}{カ}となる．
(3)辺ABの長さの最大値は[キ][ク]である．

　私立 上智大学 2011年 第1問

a,b,cは整数で，a≧1,b≧0,c≧0とする．xの2次式P(x)=ax2+bx+cを考える．
(1)P(1)=2を満たすP(x)は全部で[ア]個存在する．
(2)条件\lceilP(n)=5　を満たす自然数　n　が存在する　\rfloor
を満たすP(x)は全部で[イ]個存在する．
このようなP(x)のうち，P(3)=17を満たすものは
P(x)=[ウ]x2+[エ]x+[オ]
である．
(3)条件
\lceilP(n)=3　を満たす自然数　n　が存在し，　
\qquad\qquad\text{かつ，・・・

　私立 自治医科大学 2011年 第15問

2点(1,4)，(2,5)を通り，y軸に接する円は2つ存在する．それぞれの円の半径をa,bとするとき，abの値を求めよ．

　私立 早稲田大学 2011年 第7問

平面上の点(x,y)で，(x/3)^{2n}+(y/2)^{2n}＜1を満たすような自然数nが存在するための必要十分条件は，[ヌ]＜x＜[ネ]かつ[ノ]＜y＜[ハ]である．

　私立 自治医科大学 2011年 第18問

同一直線上に，それぞれ異なる3つの点，A(k+2,5)，B(6,5-2k)，C(5,3)が存在するとき，kの値を求めよ．

　私立 明治大学 2011年 第2問

次の各問の[]にあてはまる数を記入せよ．
座標空間内に点P(s+3,2s-1,2s+1)と点Q(2s+3,1-2s,s-1)がある．ただし，sは実数全体を動く．次の問に答えよ．
(1)線分PQの長さは
\sqrt{[ア]([イ]s2-[ウ]s+[エ])}
であり，s=\frac{[オ]}{[カ]}のときに最小値\sqrt{[キ]}をとる．
(2)Oを原点とし，θ=∠POQとする．cosθのとる値の範囲を求・・・