「存在」について

　私立 自治医科大学 2015年 第9問

円C:x2+y2=20と円Cの外部に存在する点R(8,a)（aは負の実数）について考える．点Rを通り円Cに接する直線は2つ存在する．この2つの直線が円Cと接する点をP，Qとする（点P，Qのx座標をそれぞれp,qとする）．∠PRQ={60}°となるとき，|a+p+q|の値を求めよ．

　私立 自治医科大学 2015年 第22問

関数f(x)=\frac{2ax}{x2-ax+1}（|a|＜2，aは実数）の最大値が2となるとき，aのとる値は，pとqの2つ存在する．|p-q|の値を求めよ．

　私立 上智大学 2015年 第3問

aを実数とし，f(x)=(x-a)(x2-2x-11)とおく．集合
A={x\;\bigl|\;f(x)＜0,x　は実数　}
を考える．また，nを整数とし，集合
In={x\;\bigl|\;x＞n,x　は実数　}
Jn={x\;\bigl|\;x＜n,x　は実数　}
を考える．
(1)a=-4のとき，Jn\supsetAとなるnの最小値は[ヘ]であり，Jn\subsetAとなるnの最大値は[ホ]である．
(2)a=-4，n=-3のとき，In∩Aに含まれる整数の個数は\kakko{マ・・・

　私立 上智大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数f(x),g(x)が次の2つの式を満たしている．ただし，aは定数とする．
{\begin{array}{l}
∫1xf(t)dt=xg(x)-2ax+2\phantom{\frac{[]}{[]}}\
g(x)=x2-x∫01f(t)dt-3\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
このとき，a=[ア]であり，
f(x)=[イ]x2+[ウ]x+[エ]
である．
(2)c(n)=\frac{3n2+174n+231}{n2+3n+2}とおく．c(n)が整数となるような自然数nは[オ]個・・・

　私立 上智大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)座標平面において，1次関数y=4x+2が表す直線をℓとし，ℓ上に点P(1,6)をとる．また，2次関数y=f(x)が表す放物線をCとする．
(i)Cが点Pでℓと接し，かつCが点(0,1)を通るとき，
f(x)=[ア]x2+[イ]x+[ウ]
である．
(ii)Cが点Pでℓと接するとき，Cの頂点は直線
y=[エ]x+[オ]
上に存在する。　
(2)複素数zの虚部を\te・・・

　私立 上智大学 2015年 第2問

赤いカードと青いカードが10枚ずつあり，それぞれ0から9までの数字が1つずつ書かれている．これら20枚から数枚を選ぶときの選び方に関する次の条件Pを考える．
P：選んだカードのうち，赤いカードに書かれた数字はすべて偶数である．
(1)Pであるための必要十分条件を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，Zをマークせよ．
(2)Pの否定を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，Zをマークせよ．
選択肢：
\mon[A・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第5問

曲線C:y=x3上に，次のようにして点P1，P2，P3，・・・，Pn，・・・をとる．
(i)P1はC上の与えられた点とする．
(ii)Pnを通り，Pnとは異なる点でCと接する直線が1つだけ存在するとき，その直線をℓnとし，ℓnとCとの接点をP_{n+1}とする．もしこのような直線ℓnが存在しない場合にはP_{n+1}はPnと同一の点とする．
点Pnのx座標をxnとす・・・

　公立 公立はこだて未来大学 2015年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)a,bを実数とする．また，実数xに対する2つの条件x(x2+ax+b)=0とx=0が，互いに同値であるとする．このとき，aとbがみたす関係を求め，点(a,b)が存在する領域を座標平面に図示せよ．
(2)方程式20・{15}^{-x}+{225}x-21=0を解け．

　公立 公立はこだて未来大学 2015年 第4問

数列{an}，{bn}が以下の漸化式をみたすとする．
a1=10,b1=24,a_{n+1}=2an-8,b_{n+1}=1/2bn+6(n=1,2,3,・・・)
以下の問いに答えよ．
(1)数列{an},{bn}の一般項をそれぞれ求めよ．
(2)3辺の長さが，それぞれa2,b2,6である三角形は存在しないことを示せ．
(3)3辺の長さが，それぞれan,bn,6である三角形が存在するようなnの値をすべて求めよ．

　国立 東京大学 2014年 第4問

p,qは実数の定数で，0＜p＜1，q＞0をみたすとする．関数
f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx})
を考える．
以下の問いに答えよ．必要であれば，不等式1+x≦exがすべての実数xに対して成り立つことを証明なしに用いてよい．
(1)0＜x＜1のとき，0＜f(x)＜1であることを示せ．
(2)x0は0＜x0＜1をみたす実数とする．数列{xn}の各項xn(n=1,2,3,・・・)を，
xn=f(x_{n-1})
によって順次定める．p＞qであるとき，
\lim_{n→∞}xn=0
となること・・・