「存在」について

　私立 明治大学 2011年 第3問

自然数n,kについて，xy平面上で0≦y≦xとy≦2n+k-xで定まる領域をCkとする．ある整数a,bに対して，(a,b)，(a+k,b)，(a,b+k)，(a+k,b+k)を頂点にもつ正方形を1辺がkの格子点の正方形と呼ぶ事にする．Ckに入る格子点の正方形を考える（Ckの境界も含める）．このとき，次の問いに答えよ．
(1)n=4のとき，Ck内に1辺がkの格子点の正方形が存在するための，最大のkをもとめよ．
(2)1辺がkの格子点の正方形が，Ck内に存在するためのkの条件を，・・・

　私立 名城大学 2011年 第4問

関数f(x)=x3+(2a-1)x2-2a+3（aは実数）について，次の問に答えよ．
(1)y=f(x)のグラフはaの値によらず2つの定点を通ることを示せ．
(2)f(x)の極大値が存在するようなaの値の範囲を求めよ．また，そのときの極大値を与えるxの値をmとすると，mをaを用いて表せ．
(3)(2)のとき，点(m,f(m))の軌跡を座標平面上に図示せよ．

　私立 上智大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)X大学には5つの学部があり，全ての学部で入学試験を行っている．次の7つの命題(A)～(G)の中で，お互いに否定命題となっている全ての組を以下の選択肢から選べ．もし，否定命題となっている組で選択肢にないものが存在するときは，zもマークせよ．
(A)X大学のある学部の入学試験科目には，数学がある．
(B)X大学の学部の中で，入学試験科目に数学があるのはただ一つである．
(C)・・・

　私立 学習院大学 2011年 第4問

a,bを実数とする．3次方程式x3-3ax2+a+b=0が3個の相異なる実数解をもち，そのうち1個だけが負となるためのa,bの満たす条件を求めよ．また，その条件を満たす点(a,b)の存在する領域を平面上に図示せよ．

　私立 神奈川大学 2011年 第3問

座標平面上で，原点Oを中心とする半径1の円Cに，この円の外にある点Pから2本の接線をひき，それらのなす角のうちCを挟むものの大きさをθとする．さらに，線分OPの長さをrとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)cosθ/2をrを用いて表せ．
(2)cosθをrを用いて表せ．
(3)θ=π/3を満たす点Pの軌跡を求めよ．
(4)π/3\l・・・

　私立 藤田保健衛生大学 2011年 第1問

kを定数とする．方程式x2-|x|-6=kを満足する実数xがちょうど3個あるのはk=[]のときであり，この方程式を満足する実数xが存在しないのはkの範囲が[]のときである．

　私立 東北医科薬科大学 2011年 第2問

中心がOで半径1の円上の点A，B，Cに対し
ベクトルOA+ベクトルOB+4kベクトルOC=ベクトル0{（零ベクトル）}
を満たす実数kが存在するという．このとき，次の問に答えなさい．
(1)特にk=0のときAB=[ア]である．
以下0＜kとする．
(2)∠AOB=θとおく．0＜θ＜πとするとき，k=\frac{[イ]}{[ウ]}cos\frac{θ}{[エ]}が成り立つ．
(3)F=AB2+BC2+CA2をkの式で・・・

　私立 大同大学 2011年 第6問

次の問いに答えよ．
(1)2x2-19x+a＜0をみたす実数xが存在するとき，定数aの値の範囲はa＜\frac{[]}{[]}である．2x2-19x+a＜0をみたす整数xがただ1つ存在するとき，その整数xは[]であり，定数aの値の範囲は[]≦a＜[]である．
(2)外接円の半径が16である△ABCにおいてcosB=\frac{√7}{4}，cosC=\frac{3√7}{8}とするとき，sinB=\frac{[]}{[]}，\t・・・

　公立 首都大学東京 2011年 第1問

aを実数とする．関数f(x)=sinx+acos2x-1/4について，以下の問いに答えなさい．
(1)a=1とするとき，0≦x≦2πにおけるf(x)の増減と極値を調べて，y=f(x)のグラフをかきなさい．
(2)f(x)の極値をあたえるxが0＜x＜πの範囲に1個だけ存在するためのaについての必要十分条件を求めなさい．

　公立 富山県立大学 2011年 第2問

四面体OABCにおいて，辺OAと辺BCをt:(1-t)に内分する点を，それぞれDとFとする．また，辺ABと辺COをt/3:(1-t/3)に内分する点を，それぞれEとGとする．ただし，0＜t＜1である．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとしたとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルa,ベクトルb,ベクトルc,tを用いて，ベクトルOD，ベクトルOE，ベクトルOF，\vect{OG・・・