「存在」について

　公立 奈良県立医科大学 2011年 第1問

0以上の任意の整数iに対して，xのi次式gi(x)をi=0のときg0(x)=1，i≧1のときgi(x)=\frac{x(x+1)・・・(x+i-1)}{i!}と定義する．
(1)f(x)=Σ_{i=0}naixi（但しan≠0）をxに関する実数係数のn(≧0)次式とする．このとき，等式f(x)=Σ_{i=0}ncigi(x)が任意の実数xについて成り立つような実数ci（0≦i≦n，但しcn≠0）が一意的に存在することを証明せよ．
(2)(1)において，n＞0・・・

　公立 奈良県立医科大学 2011年 第3問

a,bを実数とする．
(1)定積分
I(a,b)=∫_{-π}^π(1+asinx+bx)2dx
を求めよ．
(2)a,bが実数全体を動くとき，(1)の定積分I(a,b)を最小にするような実数の組(a,b)がただ一組存在することを示し，そのような(a,b)及びI(a,b)の最小値を求めよ．

　公立 奈良県立医科大学 2011年 第4問

xy平面において原点O(0,0)を中心とする半径1の円をSとし，円Sの任意の点Pに対して，点Pにおける円Sの接線をL(P)とおく．
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})
を全ての成分が実数からなる2行2列の行列とし，Aによって定まるxy平面の一次変換
(\begin{array}{c}
x´\
y´
\end{array})=A(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})
を\varphiとおく．このとき，円Sの任意の点Pに対して円・・・

　国立 東北大学 2010年 第4問

四面体ABCDにおいて，辺ABの中点をM，辺CDの中点をNとする．以下の問いに答えよ．
(1)等式
ベクトルPA+ベクトルPB=ベクトルPC+ベクトルPD
を満たす点Pは存在するか．証明をつけて答えよ．
(2)点Qが等式
|ベクトルQA+ベクトルQB|=|ベクトルQC+ベクトルQD|
を満たしながら動くとき，点Qが描く図形を求めよ．
(3)点Rが等式
|ベクトルRA|2+|ベクトルRB|2=|ベクトルRC|2+|ベクトルRD|2
を満たしながら動くとき，内積ベクトルMN・ベクトルMRはRのとり方によらず一定であることを示せ．
(4)(2)の・・・

　国立 東北大学 2010年 第2問

a,bを正の実数とする．曲線C:y=x3−a2x+a3と点P(b,0)を考える．以下の問いに答えよ．
(1)点Pから曲線Cに接線がちょうど3本引けるような点(a,b)の存在する領域を図示せよ．
(2)点Pから曲線Cに接線がちょうど2本引けるとする．2つの接点をA，Bとしたとき，∠APBが90°より小さくなるためのaとbの条件を求めよ．

　国立 大阪大学 2010年 第4問

半径3の球T1と半径1の球T2が，内接した状態で空間に固定されている．半径1の球Sが次の条件(A)，(B)を同時に満たしながら動く．
\begin{eqnarray}
　(A)　S　は　T1　の内部にあるか　T1　に内接している．　\nonumber\\
　(B)　S　は　T2　の外部にあるか　T2　に外接している．　\nonumber
\end{eqnarray}
Sの中心が存在しうる範囲をDとするとき，立体Dの体積を求めよ．

　国立 大阪大学 2010年 第2問

連立方程式
{
\begin{array}{l}
2x+3y=43\\
log2x-log3y=1
\end{array}
.
を考える．
(1)この連立方程式を満たす自然数x,yの組を求めよ．
(2)この連立方程式を満たす正の実数x,yは，(1)で求めた自然数の組以外に存在しないことを示せ．

　国立 東北大学 2010年 第4問

四面体ABCDにおいて，辺ABの中点をM，辺CDの中点をNとする．以下の問いに答えよ．
(1)等式
ベクトルPA+ベクトルPB=ベクトルPC+ベクトルPD
を満たす点Pは存在するか．証明をつけて答えよ．
(2)点Qが等式
|ベクトルQA+ベクトルQB|=|ベクトルQC+ベクトルQD|
を満たしながら動くとき，点Qが描く図形を求めよ．
(3)点Rが等式
|ベクトルRA|2+|ベクトルRB|2=|ベクトルRC|2+|ベクトルRD|2
を満たしながら動くとき，内積ベクトルMN・ベクトルMRはRのとり方によらず一定であることを示せ．
(4)(2)の・・・

　国立 名古屋大学 2010年 第2問

関数f(x)=(x2-x)e^{-x}について，以下の問いに答えよ．必要ならば，任意の自然数nに対して
\lim_{x→+∞}xne^{-x}=0
が成り立つことを用いてよい．
(1)y=f(x)のグラフの変曲点を求め，グラフの概形をかけ．
(2)a＞0とする．点(0,a)を通るy=f(x)のグラフの接線が1本だけ存在するようなaの値を求めよ．また，aがその値をとるとき，y=f(x)のグラフ，その接線およびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 横浜国立大学 2010年 第4問

a,bを正の実数とする．曲線
C:\frac{x2}{a2}+\frac{(y-b)2}{b2}=1
は領域D:x2+y2≦1に含まれている．次の問いに答えよ．
(1)(a,b)が存在する範囲をab平面上に図示せよ．
(2)Cが囲む部分の面積が最大になるときのa,bの値を求めよ．