「存在」について

　国立 名古屋大学 2010年 第4問

xy平面上でx座標とy座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．
(1)y=1/3x2+1/2xのグラフ上に無限個の格子点が存在することを示せ．
(2)a,bは実数でa≠0とする．y=ax2+bxのグラフ上に，点(0,0)以外に格子点が2つ存在すれば，無限個存在することを示せ．

　国立 筑波大学 2010年 第5問

aを実数とし，A=\biggl(\begin{array}{cc}
a+1&a\\
3&a+2
\end{array}\biggr)とする．2点P(x,y)，Q(X,Y)について
\biggl(\begin{array}{c}
X\\
Y
\end{array}\biggr)=A\biggl(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\biggr)
が成り立つとき，PはAによりQに移るという．
(1)原点以外の点で，Aによりそれ自身に移るものが存在するとき，aを求めよ．
(2)次の条件(*)をみたすa,kを求めよ．
(*)　直線　ℓ:y=kx+1　上のすべての点は，　A\text{・・・

　国立 富山大学 2010年 第1問

0≦t≦1をみたすtに対し，sinx=tとなるxが0≦x≦π/2の範囲にただ1つ存在する．そのxをf(t)と表すことにする．さらに，tの関数g(t)を
g(t)=∫0^{π/2}|sinx-t|dx-2tf(t)+3/2πt
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)∫0^{π/2}|sinx-t|dxを，tとf(t)を用いて表せ．
(2)g(t)を，f(t)を含まない式で表せ．
(3)g(t)の0≦t≦1における最大値を・・・

　国立 琉球大学 2010年 第3問

点(a,b)を通り曲線y=x3-xに接するような異なる3本の直線が存在するための実数a,bが満たすべき必要十分条件を求め，それを満たす点(a,b)の存在する領域を図示せよ．

　国立 富山大学 2010年 第2問

0≦t≦1をみたすtに対し，sinx=tとなるxが0≦x≦π/2の範囲にただ1つ存在する．そのxをf(t)と表すことにする．さらに，tの関数g(t)を
g(t)=∫0^{π/2}|sinx-t|dx-2tf(t)+3/2πt
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)∫0^{π/2}|sinx-t|dxを，tとf(t)を用いて表せ．
(2)g(t)を，f(t)を含まない式で表せ．
(3)g(t)の0≦t≦1における最大値を・・・

　国立 富山大学 2010年 第3問

0≦t≦1をみたすtに対し，sinx=tとなるxが0≦x≦π/2の範囲にただ1つ存在する．そのxをf(t)と表すことにする．さらに，tの関数g(t)を
g(t)=∫0^{π/2}|sinx-t|dx-2tf(t)+3/2πt
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)∫0^{π/2}|sinx-t|dxを，tとf(t)を用いて表せ．
(2)g(t)を，f(t)を含まない式で表せ．
(3)g(t)の0≦t≦1における最大値を・・・

　国立 富山大学 2010年 第3問

行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
-b&c
\end{array}\biggr)で表される座標平面上の点の移動を考える．原点を通る直線ℓ上のすべての点がℓ上の点に移されるとき，この移動によってℓはそれ自身に移されるということにする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)原点を通る直線で，この移動によってそれ自身に移されるものがちょうど2つ存在するための必要十分条件を，a,b,cを用いて表せ．
(2)a,b,cが(1)の条件をみたすとき，(1)の2つの直線は，直線y=xに関して対称であることを証・・・

　国立 奈良女子大学 2010年 第5問

kを実数とする．f(x)=(x-k)2+k2-k-1について以下の問いに答えよ．
(1)kの値によらずf(3)＞0となることを示せ．
(2)2次方程式f(x)=0が実数解をもつようなkの値の範囲を求めよ．
(3)f(n)＜0をみたす正の整数nがただ一つ存在するようなkの値の範囲を求めよ．

　国立 三重大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)p,q,r,sを整数とする．このときp+q√2=r+s√2が成り立つならば，p=rかつq=sとなることを示せ．ここで√2が無理数であることは使ってよい．
(2)自然数nに対し，(3+2√2)n=an+bn√2を満たす整数an,bnが存在することを数学的帰納法により示せ．
(3)an,bnを(2)のものとする．このときすべての自然数nについて(x,y)=(an,bn)は方程式x2-2y2=1の解であることを数学的帰納法により示せ．

　国立 三重大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)p,q,r,sを整数とする．このときp+q√2=r+s√2が成り立つならば，p=rかつq=sとなることを示せ．ここで√2が無理数であることは使ってよい．
(2)自然数nに対し，(3+2√2)n=an+bn√2を満たす整数an,bnが存在することを数学的帰納法により示せ．
(3)an,bnを(2)のものとする．このときすべての自然数nについて(x,y)=(an,bn)は方程式x2-2y2=1の解であることを数学的帰納法により示せ．