「存在」について

　国立 三重大学 2010年 第4問

Xを2次の正方行列として以下の問いに答えよ．
(1)p,qを実数としq≠0とする．\biggl(\begin{array}{cc}
p&q\\
0&p
\end{array}\biggr)X=X\biggl(\begin{array}{cc}
p&q\\
0&p
\end{array}\biggr)ならば，XはX=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
0&a
\end{array}\biggr)の形に表せることを示せ．
(2)X=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
0&a
\end{array}\biggr)のとき，自然数nに対しXn=\biggl(\begin{array}{cc}
an&na^{n-1}b\\
0&an
\end{array}\biggr)・・・

　国立 長崎大学 2010年 第1問

a,bは実数で，a＞1とする．tの関数
f(t)=2t3-3(a+1)t2+6at+b
について，次の問いに答えよ．
(1)関数f(t)の極値を，a,bを用いて表せ．
(2)aの値をx座標，bの値をy座標とするxy平面上の点P(a,b)を考える．このとき，3次方程式f(t)=0が相異なる3つの実数解をもつような点P(a,b)の存在する領域Dをxy平面上に図示せよ．
(3)DおよびDの境界からなる領域をEとする．領域Eのうち，
y≦-x2+4x-11
を満たす部分の面積を求めよ．

　国立 徳島大学 2010年 第4問

行列Aで表される移動によって，点(x,y)は点(x+y,x-y)に移る．行列Bで表される移動によって，点(x,y)は点(2x+y+ax,x+2y-ay)に移る．行列XがAX=Bを満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)Xの逆行列が存在しないようなaの値を求めよ．
(2)aが整数で，行列X^{-1}のすべての成分が整数になるようなaをすべて求めよ．

　国立 長崎大学 2010年 第5問

a,bをa＞b＞0を満たす定数とし，
{
\begin{array}{l}
a1=a,a_{n+1}=an2+bn2(n=1,2,3,・・・)\\
b1=b,b_{n+1}=2anbn(n=1,2,3,・・・)
\end{array}
.
で定義される数列{an},{bn}を考える．次の問いに答えよ．
(1)数列{cn}をcn=an+bn(n=1,2,3,・・・)により定義するとき，その一般項cnをa,bを用いて表せ．
(2)数列{an},{bn}の一般項an,bnをa,bを用いて表せ．
(3)極限値\lim_{n・・・

　国立 愛知教育大学 2010年 第1問

一辺の長さが2sである正三角形ABCの3つの頂点をA(-s,0)，B(s,0)，C(0,√3s)とする．AP2+BP2+CP2=tであるような点Pについて，以下の問いに答えよ．
(1)このような点Pが存在するためのs,tについての必要十分条件と，この条件の下での点Pの軌跡の方程式を求めよ．
(2)点Pの軌跡が頂点Aを通る場合のsとtの関係式を求めよ．またこのときの点Pの軌跡を△ABCとともに図示せよ．
\end{e・・・

　国立 お茶の水女子大学 2010年 第2問

xy平面上に2つの円
\begin{align}
&C1:x2+y2=16\nonumber\\
&C2:(x-6)2+y2=1\nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)C1上の点(a,b)を接点とする接線の方程式を求めよ．
(2)C1とC2の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(3)点Pを通る任意の直線がC1またはC2の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．

　国立 お茶の水女子大学 2010年 第2問

xy平面上に2つの円
\begin{align}
&C1:x2+y2=16\nonumber\\
&C2:(x-6)2+y2=1\nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)C1とC2の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線がC1またはC2の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．

　国立 お茶の水女子大学 2010年 第2問

xy平面上に2つの円
\begin{align}
&C1:x2+y2=16\nonumber\\
&C2:(x-6)2+y2=1\nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)C1とC2の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線がC1またはC2の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．

　国立 福井大学 2010年 第4問

pを0でない実数とし，行列A,Bをそれぞれ次のように定める．このとき，以下の問いに答えよ．
A=\biggl(\begin{array}{cc}
p-1/p&1\\
2&-p
\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
1/p&-1
\end{array}\biggr)
(1)等式A^{-1}=aA+bEが成り立つ定数a,bをpで表せ．ただし，Eは2次の単位行列である．
(2)AB=Cとおく．E+Cの逆行列が存在することを示し，さらに自然数mに対して等式
E-C+C2-C3+・・・-C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1}
が・・・

　国立 茨城大学 2010年 第3問

点Oを原点とする座標平面上に2点A(1,1)，B(1,-1)がある．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)実数s,tによって，ベクトルOP=sベクトルOA+tベクトルOBで定められる点Pを考える．s,tがs+2t≦2，s≧0，t≧0を満たしながら動くとき，点Pの存在する範囲を求めよ．さらに，その範囲が表す図形を図示せよ．
(2)実数uによって，ベクトルOQ=(1-u)ベクトルQA+2uベクトルQBで定められる点Qを考える．uが0≦u≦1を満たしながら動く・・・