「存在」について

　公立 名古屋市立大学 2010年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)方程式x2-xy-4x+2y+3=0が表す曲線の概形を描け．その曲線がx軸およびy軸と交差する場合にはその交点の座標を明記すること．また，漸近線が存在する場合には，その漸近線も描き，その式を明記すること．
(2)(1)で描かれた曲線とx軸およびy軸で囲まれる図形をA，また(1)で描かれた曲線がx軸とy軸で交わる点を結んでできる図形をBとする．領域A∩Bの面積を求めよ．

　公立 名古屋市立大学 2010年 第2問

負でない実数をaとする．xy平面上で0≦x≦a,0≦y≦\frac{1}{1+x}を満たす領域をAとし，Aをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をV1，y軸のまわりに1回転してできる立体の体積をV2とする．次の問いに答えよ．
(1)V1を求めよ．
(2)V2を求めよ．
(3)V1-V2が最大となるときのaの値をpとおく．pを求め，p＜1を示せ．
(4)p＜a＜1においてV1=V2となるaが存在することを示せ．ただし，log2＜0.7を使用してもよい．

　公立 京都府立大学 2010年 第4問

Aを成分が実数である2次の正方行列，Eを2次の単位行列とする．数列{an}を漸化式
a1=1,a_{n+1}=an+2n,(n=1,2,・・・)
によって定める．bn=Σ_{k=1}nakとおく．また，座標平面上の点Pn(xn,yn)を
\biggl(\begin{array}{c}
x1\\
y1
\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\biggr),\biggl(\begin{array}{c}
x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{array}\biggr)=A^{bn}\biggl(\begin{array}{c}
x1\\
y1
\end{array}\biggr),(n=1,2・・・