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座標平面上の直線y=-1をℓ1，直線y=1をℓ2とし，x軸上の2点O(0,0)，A(a,0)を考える．点P(x,y)について，次の条件を考える．
d(P,ℓ1)≧PO かつ d(P,ℓ2)≧PA・・・・・・①
ただし，d(P,ℓ)は点Pと直線ℓの距離である．
(1)条件①を満たす点Pが存在するようなaの値の範囲を求めよ．
(2)条件①を満たす点P全体がなす・・・
国立 九州大学 2014年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)任意の自然数aに対し，a2を3で割った余りは0か1であることを証明せよ．
(2)自然数a,b,cがa2+b2=3c2を満たすと仮定すると，a,b,cはすべて3で割り切れなければならないことを証明せよ．
(3)a2+b2=3c2を満たす自然数a,b,cは存在しないことを証明せよ．
国立 九州大学 2014年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)任意の自然数aに対し，a2を3で割った余りは0か1であることを証明せよ．
(2)自然数a,b,cがa2+b2=3c2を満たすと仮定すると，a,b,cはすべて3で割り切れなければならないことを証明せよ．
(3)a2+b2=3c2を満たす自然数a,b,cは存在しないことを証明せよ．
国立 横浜国立大学 2014年 第1問a,bを実数とする．xy平面上の曲線C:y=x3+ax2+x-2と直線ℓ:y=bx-2が異なる3点で交わるとき，次の問いに答えよ．
(1)a,bの条件を求めよ．
(2)3つの交点それぞれにおけるCの接線の中に，傾きが1より大きいものと，1より小さいものがどちらも存在するためのa,bの条件を求め，その条件をみたすab平面上の点(a,b)の範囲を図示せよ．
国立 静岡大学 2014年 第1問三角形OABにおいて，頂点A，Bにおけるそれぞれの外角の二等分線の交点をCとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとするとき，次の問いに答えよ．
(1)点Pが∠AOBの二等分線上にあるとき，
ベクトルOP=t(\frac{ベクトルa}{|ベクトルa|}+\frac{ベクトルb}{|ベクトルb|})
となる実数tが存在することを示せ．
(2)|ベクトルa|=7，|ベクトルb|=5，ベクトルa・ベクトルb=5のとき，ベクトルOCをベクトルa，\・・・
国立 静岡大学 2014年 第3問三角形OABにおいて，頂点A，Bにおけるそれぞれの外角の二等分線の交点をCとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとするとき，次の問いに答えよ．
(1)点Pが∠AOBの二等分線上にあるとき，
ベクトルOP=t(\frac{ベクトルa}{|ベクトルa|}+\frac{ベクトルb}{|ベクトルb|})
となる実数tが存在することを示せ．
(2)|ベクトルa|=7，|ベクトルb|=5，ベクトルa・ベクトルb=5のとき，ベクトルOCをベクトルa，\・・・
国立 大阪大学 2014年 第1問実数a,b,c,d,eに対して，座標平面上の点A(a,b)，B(c,d)，C(e,0)をとる．ただし点Aと点Bはどちらも原点O(0,0)とは異なる点とする．このとき，実数s,tで
sベクトルOA+tベクトルOB=ベクトルOC
を満たすものが存在するための，a,b,c,d,eについての必要十分条件を求めよ．
国立 大阪大学 2014年 第2問t＞0において定義された関数f(t)は次の条件（ア），（イ）を満たす．
\mon[（ア）]t＞0のとき，すべての実数xに対して不等式
t・\frac{ex+e^{-x}}{2}+f(t)≧1+x
が成り立つ．
\mon[（イ）]t＞0に対して，等式
t・\frac{ex+e^{-x}}{2}+f(t)=1+x
を満たす実数xが存在する．
このとき，f(t)を求めよ．
国立 千葉大学 2014年 第6問自然数nに対して，和
Sn=1+1/2+1/3+・・・+1/n
を考える．
(1)各自然数nに対して2k≦nをみたす最大の整数kをf(n)で表すとき，2つの奇数an,bnが存在して
Sn=\frac{an}{2^{f(n)}bn}
と表されることを示せ．
(2)n≧2のときSnは整数にならないことを示せ．
(3)さらに，自然数m,n(m＜n)に対して，和
S_{m,n}=1/m+\frac{1}{m+1}+・・・+1/n
を考える．S_{m,n}はどんなm,n(m＜n)に対しても整数にならな・・・
国立 熊本大学 2014年 第2問aを正の定数とする．条件
cosθ-sinθ=asinθcosθ,0＜θ＜π
を満たすθについて，以下の問いに答えよ．
(1)条件を満たすθは，0＜θ＜π/2の範囲で，ただ1つ存在することを示せ．
(2)条件を満たすθの個数を求めよ．