「存在」について

　国立 熊本大学 2014年 第2問

aを正の定数とする．条件
cosθ-sinθ=asinθcosθ,0＜θ＜π
を満たすθについて，以下の問いに答えよ．
(1)条件を満たすθは，0＜θ＜π/2の範囲で，ただ1つ存在することを示せ．
(2)条件を満たすθの個数を求めよ．

　国立 東京医科歯科大学 2014年 第1問

自然数nに対し，3個の数字1,2,3から重複を許してn個並べたもの(x1,x2,・・・,xn)の全体の集合をSnとおく．Snの要素(x1,x2,・・・,xn)に対し，次の2つの条件を考える．
条件C_{12}：1≦i＜j≦nである整数i,jの組で，xi=1，xj=2を満たすものが少なくとも1つ存在する．
条件C_{123}：1≦i＜j＜k≦nである整数i,j,kの組で，xi=1，xj=2，xk=3を満たすものが少なくとも1つ存在する．
例えば，・・・

　国立 東京医科歯科大学 2014年 第3問

aを正の実数，kを自然数とし，x＞0で定義される関数
f(x)=∫a^{ax}\frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku}du
を考える．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)f(x)の増減および凹凸を調べ，y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(2)y=f(x)のx=1における接線の方程式を求めよ．
(3)Sを正の実数とするとき，f(p)=Sを満たす実数pがただ1つ存在することを示せ．
(4)b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}とおくとき，(2)のS,pについて，次の不等式が成立することを示せ．
1+bS＜p＜e^{bS}
\e・・・

　国立 福岡教育大学 2014年 第2問

平面上に△OABと点Pがあり，実数k,m,nに対して
kベクトルPO+mベクトルPA+nベクトルPB=ベクトル0
が成り立つとする．次の問いに答えよ．
(1)k=4，m=1，n=2のとき，△POA，△POB，△PABの面積比を最も簡単な整数の比で表せ．
(2)kを0以上の定数とする．点Pがm≧0，n≧0，m+n=3を満たしながら動くとき，点Pの軌跡は線分になることを示せ．
(3)点Pがk≧1，m≧0，n・・・

　国立 奈良女子大学 2014年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)xについての2次方程式x2+ax+b=0の異なる実数解の個数が2個であるとき，実数a,bのみたす条件を求めよ．
(2)xについての4次方程式x4+ax2+b=0の異なる実数解の個数が4個であるとき，実数a,bのみたす条件を求めよ．
(3)xについての4次方程式x4+ax2+b=0の異なる実数解の個数が2個であるとき，実数a,bのみたす条件を求めよ．
(4)a,bが(3)の条件をみたすとき，点(a,b)の存在する領域をab平面上に図示せよ．

　国立 三重大学 2014年 第5問

実数aに対して，下の4つの条件p,q,r,sを考える．ただし，実数kに対して，[k]はk以下の最大の整数を表し，\langlek\rangleはk以上の最小の整数を表すとする．たとえば，k=2.15のとき，[k]=2であり，\langlek\rangle=3である．また，|k|はkの絶対値を表す．
p:x2+4x+a2=0を満たす実数xが存在する．
q:[a]＜\langlea\rangle
r:|a-1.5|＜\frac{1}{|a-1.5|+1.5}
s:0＜a＜π，かつ，sin\lef・・・

　国立 防衛医科大学校 2014年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)[1/3x+1]=[2x-1]を満たす実数xの範囲を求めよ．ここで，[x]はxを超えない最大の整数である．
(2)△ABCと，ベクトルMA+ベクトルMB+kベクトルMC=ベクトル0(k＞0)を満たす点Mが存在する．点Aと点Mを通る直線と辺BCの交点をNとする．3/4ベクトルBC=ベクトルBNのとき，kはいくらか．
(3)初項が正の数である等比数列{an}(n=1,2,3,・・・)が，漸化式・・・

　国立 福井大学 2014年 第4問

以下の問いに答えよ．
(1)nを正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底eは無理数であることを証明せずに用いてよい．
(i)等式∫01tnetdt=ane+bnが成り立つ整数an，bnがただ1組存在することを示せ．
(ii)a_{n+1}bn-anb_{n+1}の値を求めよ．
(2)区間[0,π/2]で連続な関数f(x)に対し，等式∫0^{π/2}f(x)dx=\in・・・

　国立 浜松医科大学 2014年 第2問

関数f(x)=\frac{3√3}{sinx}-\frac{1}{cosx}(0＜|x|＜π/2)を考える．以下の問いに答えよ．
(1)y=f(x)の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)f(x)の第2次導関数f^{\prime\prime}(x)は，3次式P(t)=t(2t2-1)を用いて，
f^{\prime\prime}(x)=3√3P(\frac{1}{sinx})-P(\frac{1}{cosx})
と表されることを示せ．また，0＜x1＜x2＜π/2のときf^{\prime\prime}(x1)＞f^{\prime\prime・・・

　国立 和歌山大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)tを実数とする．xについての方程式{2}x+{2}^{-x}=tの実数解の個数を調べよ．
(2)aとbを実数とし，xについての方程式{4}x+{4}^{-x}+a({2}x+{2}^{-x})+b=0が，ちょうど3個の実数解をもつとする．このとき，点(a,b)の存在する範囲を図示せよ．