「存在」について

　国立 島根大学 2014年 第4問

E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})，O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})とおく．xを実数とし，行列
X=(\begin{array}{cc}
3x-1&2x-1\
-3x+2&-2x+2
\end{array})
を定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数nに対してXのn乗をXn=(\begin{array}{cc}
Pn(x)&Qn(x)\
Rn(x)&Sn(x)
\end{array})とおく．このとき，すべてのnに対して，x=1/2のとき，Qn・・・

　国立 島根大学 2014年 第3問

E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})，O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})とおく．xを実数とし，行列
X=(\begin{array}{cc}
3x-1&2x-1\
-3x+2&-2x+2
\end{array})
を定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数nに対してXのn乗をXn=(\begin{array}{cc}
Pn(x)&Qn(x)\
Rn(x)&Sn(x)
\end{array})とおく．このとき，すべてのnに対して，x=1/2のとき，Qn・・・

　国立 東京海洋大学 2014年 第5問

次の問に答えよ．
(1)x2+4y2=9z2をみたす自然数x,y,zがあればxとyはいずれも3の倍数であることを示し，x2+4y2=9z2をみたす自然数x,y,zの例を挙げよ．
(2)x3+4y3=9z3をみたす自然数x,y,zは存在しないことを示せ．

　国立 お茶の水女子大学 2014年 第1問

実数a,b,c,dに対して，2次正方行列A,Oを次で定める．
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array}),O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})
(1)行列Aがad-bc=0を満たすとき，
A=(\begin{array}{c}
p\
q
\end{array})(\begin{array}{cc}
r&s
\end{array})
となるような実数p,q,r,sが存在することを示せ．
(2)ある2次正方行列X,Yに対してXA≠O，AY≠O，XAY=Oが成・・・

　国立 お茶の水女子大学 2014年 第1問

実数a,b,c,dに対して，2次正方行列A,Oを次で定める．
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array}),O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})
(1)行列Aがad-bc=0を満たすとき，
A=(\begin{array}{c}
p\
q
\end{array})(\begin{array}{cc}
r&s
\end{array})
となるような実数p,q,r,sが存在することを示せ．
(2)ある2次正方行列X,Yに対してXA≠O，AY≠O，XAY=Oが成・・・

　国立 お茶の水女子大学 2014年 第4問

自然数l,m,nに対し，
f(l,m,n)=1/l+1/m+1/n
とする．
(1)l+m+n=10のとき，f(l,m,n)の値の最小値と最大値を求めよ．
(2)方程式f(l,m,n)=aの解となる自然数l,m,nの組でl≦m≦nを満たすものが2つ以上存在するようなaの例を挙げ，そのような自然数の組を2つ求めよ．
(3)11/12＜f(l,m,n)＜1を満たす自然数l,m,nの組でl≦m≦nを満たすものをすべて求めよ．

　国立 和歌山大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)tを実数とする．xについての方程式{2}x+{2}^{-x}=tの実数解の個数を調べよ．
(2)aとbを実数とし，xについての方程式{4}x+{4}^{-x}+a({2}x+{2}^{-x})+b=0が，ちょうど3個の実数解をもつとする．このとき，点(a,b)の存在する範囲を図示せよ．

　国立 和歌山大学 2014年 第5問

次の条件を満たす2次正方行列A,Bがある．
A2=E,B2=-E,AB+BA=O
ただし，Eは単位行列，Oは零行列である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)次の(i)，(ii)，(iii)が成り立つことを示せ．
(i)(A+B+AB)2=E\qquad(ii)A+B≠O\qquad(iii)AB≠E
(2)(A+B)C=Oとなる零行列でない2次正方行列Cが存在することを示せ．

　国立 千葉大学 2014年 第5問

自然数nに対して，和
Sn=1+1/2+1/3+・・・+1/n
を考える．
(1)各自然数nに対して2k≦nをみたす最大の整数kをf(n)で表すとき，2つの奇数an,bnが存在して
Sn=\frac{an}{2^{f(n)}bn}
と表されることを示せ．
(2)n≧2のときSnは整数にならないことを示せ．
(3)さらに，自然数m,n(m＜n)に対して，和
S_{m,n}=1/m+\frac{1}{m+1}+・・・+1/n
を考える．S_{m,n}はどんなm,n(m＜n)に対しても整数にならな・・・

　私立 慶應義塾大学 2014年 第1問

1辺の長さが1である正六角形の頂点を時計の針の回り方と逆回りにA，B，C，D，E，Fとし，ベクトルAB=ベクトルa，ベクトルAF=ベクトルbとする．
(1)ベクトルa・ベクトルb=\frac{[1][2]}{[3]}，(2ベクトルa+3ベクトルb)・(3ベクトルa-2ベクトルb)=\frac{[4][5]}{[6]}である．
(2)ベクトルAP=2sベクトルa+(3-3s)ベクトルbで与えられる点Pが△・・・