「存在」について

　公立 大阪府立大学 2014年 第5問

0＜x≦2πにおいて定義された関数h(x)=\frac{sinx}{x}について，以下の問いに答えよ．
(1)h(x)の最小値を与えるxがただ一つ存在することを示せ．
(2)h(x)の最小値を与えるxの値をbとおく．次の定積分を求めよ．
∫_πbx2h(x)dx
(3)bは17/12π＜b＜3/2πをみたすことを示せ．

　公立 横浜市立大学 2014年 第4問

nを4以上の整数とする．1番からn番までの番号がふられたボールが1つずつある．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)以下のような操作でボールを1列に並べる：
(i)1番のボールを適当な位置におく．
(ii)2番のボールを1番のボールの左または右に同じ確率でおく．
(iii)3番のボールをすでに並んでいる2つのボールの左または間または右に同じ確率でおく．
\mon[\tokeishi]以下n番まで番号順に，k番のボールを，すでに並んでいるボー・・・

　公立 京都府立大学 2014年 第4問

実数を成分とする2次正方行列Aの逆行列は存在しないとする．2次正方行列XはXAX=XかつAX=XAかつA3X=A2を満たすとする．A2≠(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})のとき，以下の問いに答えよ．
(1)2次正方行列YがYAY=YかつAY=YAかつA3Y=A2を満たすとき，Y=Xであることを示せ．
(2)A=(\begin{array}{cc}
1&1\
1&1
\end{array})のとき，Xを求めよ．

　公立 京都府立大学 2014年 第2問

定数aを正の実数とする．2つの放物線C1:y=2x2+1，C2:y=-√2(x+a)2+1がある．C1，C2の両方に接する直線をC1，C2の共通接線という．以下の問いに答えよ．
(1)C1上の任意の点Pのx座標をtとする．点PにおけるC1の接線の方程式をtを用いて表せ．
(2)C1，C2の共通接線がちょうど2本存在することを示せ．
(3)C1，C2の2本の共通接線とC1とで囲まれた部分の面積をaを用いて表せ．

　公立 京都府立大学 2014年 第3問

1個のサイコロを1回投げるごとに，出た目によって，点Pが座標平面上を，次の規則に従って動くものとする．
最初は原点にあり，偶数が出た場合はx軸の正の方向に出た目の数だけ進み，奇数が出た場合はy軸の正の方向に出た目の数だけ進む．
点Pの到達点の座標を(x0,y0)とする．以下の問いに答えよ．
(1)サイコロを3回投げたとき，x0=0かつy0=9となる確率を求めよ．
(2)サイコロをn回投げたとき，x0=2n+2かつy0=0となる確率をnを・・・

　国立 京都大学 2013年 第3問

nを自然数とし，整式xnを整式x2-2x-1で割った余りをax+bとする．このときaとbは整数であり，さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ．

　国立 京都大学 2013年 第3問

nとkを自然数とし，整式xnを整式(x-k)(x-k-1)で割った余りをax+bとする．
(1)aとbは整式であることを示せ．
(2)aとbをともに割り切る素数は存在しないことを示せ．

　国立 大阪大学 2013年 第3問

4個の整数
n+1,n3+3,n5+5,n7+7
がすべて素数となるような正の整数nは存在しない．これを証明せよ．

　国立 新潟大学 2013年 第4問

平面上の2つのベクトルベクトルa,ベクトルbはそれぞれの大きさが1であり，また平行でないとする．次の問いに答えよ．
(1)t≧0であるような実数tに対して，不等式
0＜|ベクトルa+tベクトルb|2≦(1+t)2
が成立することを示せ．
(2)t≧0であるような実数tに対してベクトルp=\frac{2t2ベクトルb}{|ベクトルa+tベクトルb|2}とおき，f(t)=|ベクトルp|とする．このとき，不等式
f(t)≧\frac{2t2}{(1+t)2}
が成立することを示せ．
(3)f(t)=1・・・

　国立 信州大学 2013年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)式
1=\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}
をみたす自然数の組(a1,a2,a3)で，1≦a1≦a2≦a3となるものをすべて求めよ．
(2)rを正の有理数とする．式
r=\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}
をみたす自然数の組(a1,a2,a3)で，1≦a1≦a2≦a3となるものは有限個しかないことを証明せよ．ただし，そのような組が存在しない場合は0個とし，有限個であるとみなす．