「存在」について

　国立 信州大学 2013年 第3問

xy平面上に4点O(0,0)，A(-1,2)，B(2,1)，P(u,v)がある．点Pが
ベクトルOP=ベクトルOAcosα+ベクトルOBsinβ\qquad(　ただし，　0≦α≦π,0≦β≦π)
を満たすとき，点Pの存在する領域を図示せよ．

　国立 神戸大学 2013年 第4問

a,bを実数とする．次の問いに答えよ．
(1)f(x)=acosx+bが，
∫0^πf(x)dx=π/4+∫0^π{f(x)}3dx
をみたすとする．このとき，a,bがみたす関係式を求めよ．
(2)(1)で求めた関係式をみたす正の数bが存在するためのaの条件を求めよ．

　国立 東京大学 2013年 第5問

次の命題Pを証明したい．
命題P次の2条件(a)，(b)をともに満たす自然数（1以上の整数）Aが存在する．
(a)Aは連続する3つの自然数の積である．
(b)Aを10進法で表したとき，1が連続して99回以上現れるところがある．

以下の問いに答えよ．
(1)yを自然数とする．このとき不等式
x3+3yx2＜(x+y-1)(x+y)(x+y+1)＜x3+(3y+1)x2
が成り立つような正の実数xの範囲を求め・・・

　国立 静岡大学 2013年 第2問

△OABにおいて，辺OAを1:2に内分する点をP，辺OBの長さを1，ベクトルOA・ベクトルOB=kとする．このとき，辺OB上の点Qに関して，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルOQ=sベクトルOB(0≦s≦1)のとき，ベクトルPQをベクトルOA，ベクトルOBとsを用いて表せ．
(2)ベクトルOQ=sベクトルOB(0≦s≦1)かつ|ベクトルPQ|=1/3|ベクトルAB|のとき，等式9s2-6ks+2k-1=0が成り立つことを示せ．
(3)\display・・・

　国立 静岡大学 2013年 第3問

aとbを実数とする．2次正方行列
X=(\begin{array}{cc}
a&-b\
b&a
\end{array})
の逆行列が存在するとし，Aを等式
AX=(\begin{array}{cc}
-2a&-2b\
-2b&2a
\end{array})
を満たす2次正方行列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)X^{-1}AXを求めよ．
(2)nが正の偶数のとき，Anを求めよ．
(3)nが正の偶数のとき，(A^{-1})nを求めよ．

　国立 山梨大学 2013年 第5問

任意の2次の正方行列M=(\begin{array}{cc}
p&q\
r&s
\end{array})に対し，D(M)=ps+3qr，T(M)=p+sとする．また，A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
d&b\
c&a
\end{array})とし，D(AB)=D(A)D(B)が成り立つものとする．
(1)bc=0が成り立つか，またはAの逆行列が存在しないことを示せ．
(2)自然数nに対し，T(An)を求めよ．

　国立 浜松医科大学 2013年 第3問

さいころを4回投げて，k回目（k=1,2,3,4）に出る目の数をXkとする．1から6までの目は等確率で出るものとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)j,k(j＜k)は数の集合{1,2,3,4}を動くものとする．X1,X2,X3,X4の中で，Xj=Xkとなる組{j,k}が少なくとも1つ存在する事象をA，Xj=Xkとなる組{j,k}がただ1つ存在する事象をB，同じ目がちょうど3つ出る事象をCとする．確率P(A)，P(B)，P(C)をそれぞれ求めよ．
(2)Aが起こったときの和事象B\・・・

　国立 高知大学 2013年 第3問

log_{10}3=aとおくとき，次の問いに答えよ．
(1)3^{20}＞109,3^{25}＜10^{12}を示せ．
(2)0.45＜a＜0.48を示せ．
(3)6.54＜15a-a2＜6.97を示せ．
(4)次の2つの不等式をともにみたす実数の組(x,y)は存在しないことを示せ．
{\begin{array}{l}
x2-2(1+a)x+y2-4(2-a)y+a2-2a+8≦0\
x2-6(2+a)x+y2-2(3-a)y+9a2+38a+29≦0
\end{array}.

　国立 高知大学 2013年 第4問

関数f(x)=x3e^{-9x}と実数aに対して，次の問いに答えよ．
(1)導関数f´(x)を求めよ．
(2)-1≦x≦1の範囲で，f(x)=aをみたす実数xの個数を求めよ．
(3)-5/3π≦θ≦5/3πの範囲で，f(cosθ)=aをみたす実数θがちょうど6個存在するようなaの範囲を求めよ．

　国立 旭川医科大学 2013年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=xlogx-x(x＞0)の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)aを正の実数とする．曲線C:y=log(x+1)上の点(t,log(t+1))における接線ℓtが，曲線Ca:y=alogx上の点(s,alogs)における接線にもなっているとき，tとsの関係をaを含まない式で表せ．
(3)任意に与えられたt＞-1に対して，直線ℓtが曲線Caの接線にもなっているようなaが唯一つ存在すること，およびa＞1であることを示せ．
(4)直線ℓtが曲線Caの接線になっているとき，その・・・