「存在」について

　国立 茨城大学 2013年 第2問

以下の各問に答えよ．
(1)不等式x+|y-1|≦1の表す領域を図示せよ．
(2)aを実数とする．このとき，
A(\begin{array}{c}
1\
2
\end{array})=(\begin{array}{c}
3\
1\\
2
\end{array})　かつ　A(\begin{array}{c}
2\
a
\end{array})=(\begin{array}{c}
2\
1\\
3
\end{array})
を満たす行列Aが存在するかどうかを調べよ．存在するときはAを求め，存在しないときは「存在しない」と答えよ．

　国立 茨城大学 2013年 第2問

f(x)=x3-x+5として，曲線y=f(x)をCとする．点P(a,f(a))におけるCの接線をℓ，法線をnとする．以下の各問に答えよ．ただし，点PにおけるCの法線とは，点Pを通り，かつ点PにおけるCの接線に直交する直線のことである．
(1)ℓ,nの方程式をそれぞれ求めよ．
(2)ℓとCの共有点で，P以外のものの個数を求めよ．
(3)|a|＜\frac{1}{√3}のときには，nとCとの共有点がP以外にも存在することを示せ．

　国立 筑波大学 2013年 第5問

2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})について以下の問いに答えよ．ただし，a,b,c,dは実数とする．
(1)A2=(\begin{array}{cc}
0&1\
1&0
\end{array})を満たすAは存在しないことを示せ．
(2)A2=(\begin{array}{cc}
0&1\
-1&0
\end{array})を満たすAをすべて求めよ．
(3)(2)で求めたAのそれぞれについてA+A2+A3+・・・+A^{2013}を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2013年 第3問

数列{an}を次のように定める．
a1=a2=a3=1,a_{n+3}=a_{n+1}+an(n=1,2,3,・・・)
(1)a_{n+1}≦a_{n+2}≦2anを示せ．
(2)an≦\sqrt{2n}を示せ．
さらに，数列{bn}を
bn={\begin{array}{ll}
0&an　が偶数のとき　\
1&an　が奇数のとき　
\end{array}.(n=1,2,3,・・・)
によって定める．また，自然数kに対して，条件
pk　：すべての自然数　n　について　b_{n+k}=bn・・・

　国立 鹿児島大学 2013年 第5問

2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})に対して，\Delta(A)=ad-bcとおく．たとえば単位行列E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})に対しては\Delta(E)=1×1-0×0=1となる．またK=(\begin{array}{cc}
2&3\
5&7
\end{array})に対しては\Delta(K)=2×7-3×5=-1となる．次の各問いに答えよ．
(1)P=(\begin{array}{cc}
0&1\
2&3
\end{array}),Q=(\begin{・・・

　国立 滋賀医科大学 2013年 第3問

実数aに対し，行列X(a)を
X(a)=\frac{1}{a2+1}(\begin{array}{cc}
2a2+1&-a\
-a&a2+2
\end{array})
と定める．
(1)ベクトル(\begin{array}{c}
x0\
y0
\end{array})を考える．ベクトル(\begin{array}{c}
x0\
y0
\end{array})，X(a)(\begin{array}{c}
x0\
y0
\end{array})の大きさをそれぞれl0,l1とおく．このとき
l0≦l1
を示せ．ただしベクトル(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array}\r・・・

　国立 防衛医科大学校 2013年 第4問

X1=(\begin{array}{cc}
1&2\
-2&1
\end{array})，X2=(\begin{array}{cc}
6&5\
1&3
\end{array})，
\begin{array}{r}
Xn=(\begin{array}{cc}
9/4&3/2\
-1/2&1/2
\end{array})X_{n-1}-(\begin{array}{cc}
5/4&3/2\
-1/2&-1/2
\end{array})X_{n-2}+(\begin・・・

　国立 お茶の水女子大学 2013年 第9問

放物線y=x2をC1，C1と異なる放物線y=ax2+bx+c(a≠0)をC2とする．
(1)a=1のとき，C1とC2の両方に接する直線は最大でも1本しか存在しないことを示せ．
(2)a=1のとき，条件b≠0は条件
C1とC2の両方に接する直線が1本だけ存在する
の必要十分条件であることを示せ．
(3)条件p1,p2,q1,q2を次で定める．
\begin{array}{ll}
p1:C2　は下に凸である．　&p2:C2　は上に凸である．　\
q1:C1\text・・・

　国立 東京海洋大学 2013年 第4問

座標平面上に2点A(t,t)，B(t-1,-t+1)をとり，線分ABを1:2に内分する点をPとする．
(1)tがすべての実数を動くとき，点Pの軌跡を求めよ．
(2)直線ABの方程式をtを用いて表せ．
(3)(2)で求めた方程式を満たす実数tが存在するためのx,yについての条件を求め，条件を満たす点(x,y)全体の領域Dを座標平面内に図示せよ．
(4)(1)で求めた点Pの軌跡の方程式をy=f(x)とする．連立不等式
y≧x,y≧-x,y≦1・・・

　私立 南山大学 2013年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)実数aに対して，2つの関数
f(x)=x2+4ax+8,g(x)=-x2+(2a-2)x-10
を考える．このとき，g(x)≧f(x)となるxが存在するようなaの値の範囲は[ア]である．また，f(x)の最小値がg(x)の最大値より大きくなるようなaの値の範囲は[イ]である．
(2)0≦θ＜2πのとき，x=sinθ+cosθのとりうる値の範囲は[ウ]であり，y=sin2θ+2(sinθ+cosθ)のとりうる値の範囲は[エ]である．
\mo・・・