「実数解」について

　私立 立教大学 2012年 第1問

次の空欄ア～シに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)方程式x3-4x2+ax+b=0の1つの解が1-2iであるとき，実数解は[ア]であり，a=[イ]，b=[ウ]である．ただし，定数a,bは実数とし，iは虚数単位とする．
(2)サイコロを続けて2回振り，最初に出た目がa，次に出た目がbならば座標平面上に直線ℓ:y=ax-bを描く．この試行において，直線ℓが放物線y=x2と相異なる2点で交わる確率は[エ]である．
(3)不等式x2+y2+6x+4y-12≦0の表す領域の面積は\ka・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第3問

3次方程式x3-6x2+ax+a=0が異なる3つの実数解u,v,wをもち，
(u-1)3+(v-2)3+(w-3)2=0
が成り立っているとする．ただしaは実数とする．このときu,v,wの間に成り立つ関係式とaの値は次の3通りである．
(1)w=[ノ],u+v=[ハ],a=\frac{[ヒフ]}{[ヘ]}
(2)v=[ホ],u+w=[マ],a=\frac{[ミム]}{[メ]}
(3)u=[モ],v+w=[ヤ],a=\frac{[ユ]・・・

　私立 北海学園大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x=3+√2のとき，\frac{(x+2)(x-1)+2}{(x-2)(x-1)-2}の値を求めよ．
(2)xの2次方程式2x2-5x+3=0と2x2+3x+a=0を同時に満たす実数解が，少なくとも1つあるような定数aの値をすべて求めよ．
(3)周の長さがaメートルで，面積が\frac{a2}{25}平方メートル以上の長方形の庭園を造りたい．庭園の縦の長さをxメートルとするとき，xの値の範囲をaを用いて表せ．ただし，aは正の定数とする．

　私立 慶應義塾大学 2012年 第1問

次の[]にあてはまる最も適当な数を記入せよ．
(1)20^{10}の正の約数は全部で[ア]個ある．
(2)2＜loga900＜6を満たすような2以上の自然数aは全部で[イ]個ある．
(3)整数の組(p,q)のうち，2次方程式x2-2px+13=0の解の1つがp+qiであるような組(p,q)は全部で[ウ]個ある．ただし，iは虚数単位とする．
(4)100以下の自然数mのうち，2次方程式x2-x-m=0の2つの解がともに整数であるようなmは全部で[エ]個ある．
(5)3次方程式x3-3x2・・・

　私立 南山大学 2012年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)△ABCにおいて，AC=10，BC=6，cosA=4/5とし，辺ACの中点をMとする．このとき，tanA=[ア]であり，△BCMの外接円の半径は[イ]である．
(2)関数f(x)=|x-1|-|x+2|+|x-3|が，f(a)=0を満たすとき，a=[ウ]である．また，y=f(x)のグラフとx軸で囲まれた図形の面積は[エ]である．
(3)kを正の実数とする．3次関数f(x)=kx3+3kx2-9kx+3・・・

　私立 甲南大学 2012年 第1問

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．
(1)2次方程式x2+2(a-√3)x-3√3a+9=0が2つの異なる実数解をもち，x2+ax+1=0が虚数解をもつようなaの値の範囲は[1]＜a＜[2]である．
(2)0＜x≦π/2とするとき，2-cos2x+\frac{1}{4sin2x}の最小値は[3]であり，そのときのxの値は[4]である．
(3)y=|x-1|-|2x-4|はx=[5]のときに最大値[6]をとる．
(4)4^{200}は[7]桁の整数である．・・・

　私立 南山大学 2012年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)(1/9)x-4(1/3)^{x-1}+27≦0を満たすxの範囲は[ア]であり，\
log2(log5(x+1)+log5(x+3))＜1を満たすxの範囲は[イ]である．
(2)整式P(x)を(x+1)(x-2)で割ると余りは2x+9，(x+1)(x+2)で割ると余りは-10x-3になる．このときP(x)を(x+1)(x-2)(x+2)で割ると，余りは[ウ]となる．また，P(x)を(x-2)(x+2)で割ると，余りは[エ]となる．
\mon・・・

　私立 龍谷大学 2012年 第2問

つぎの問いに答えなさい．
(1)3次方程式x3-6x+5=0を解きなさい．
(2)3次方程式x3-6x+k=0が3つの相異なる実数解を持つための定数kの値の範囲を求めなさい．

　私立 学習院大学 2012年 第1問

大中小3つのサイコロを振って，出た目をそれぞれa,b,cとする．2次方程式
ax2+bx+c=0
が実数解をもつ確率を求めよ．

　私立 学習院大学 2012年 第2問

0≦t＜2πに対して，2次方程式
x2+(sint-2)x+sin2t-sint=0
を考える．
(1)すべてのtに対して方程式は相異なる2つの実数解をもつことを示せ．
(2)方程式が2つの正の実数解をもつためのtの範囲を求めよ．