「実数解」について

　公立 福岡女子大学 2012年 第1問

aを定数とし，f(x)=x5-5x3+axとする．方程式f(x)=0は異なる5つの実数解をもち，これらをx1＜x2＜x3＜x4＜x5とする．この5つの解は等差数列をなしており，その総和は0である．次の問に答えなさい．
(1)x3=0を示せ．
(2)aの値を求めよ．
(3)x1,x2,x4,x5を求めよ．

　国立 埼玉大学 2011年 第1問

実数aは，0＜a＜1をみたしているとする．
(1)3次方程式x3+3ax2+3(a2-1)x=0は3つの異なる実数解をもつことを証明しなさい．
(2)3次方程式x3+3ax2+3(a2-1)x-2=0は3つの異なる実数解をもつことを証明しなさい．

　国立 秋田大学 2011年 第1問

大小2個のさいころを投げて，出る目をそれぞれa,bとする．このa,bに対し，f(x)=x2-ax+b,g(x)=x3-(a+b)x2+(a+1)bx-b2とおく．次の問いに答えよ．
(1)方程式f(x)=0が，実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式f(x)=0が，整数の解を少なくとも1つもつ確率を求めよ．
(3)方程式g(x)=0が，異なる整数の解をちょうど2個もつ確率を求めよ．

　国立 秋田大学 2011年 第2問

大小2個のさいころを投げて，出る目をそれぞれa,bとする．このa,bに対し，f(x)=x2-ax+bとおく．次の問いに答えよ．
(1)方程式f(x)=0が，実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式f(x)=0が，整数の解を少なくとも1つもつ確率を求めよ．

　国立 名古屋大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=x3-x2のグラフをかけ．
(2)曲線y=x3-x2の接線で，点(3/2,0)を通るものをすべて求めよ．
(3)pを定数とする．xの3次方程式y=x3-x2=p(x-3/2)の異なる実数解の個数を求めよ．

　国立 富山大学 2011年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=|x2-2x-3|のグラフをかけ．
(2)aを実数とする．このとき，方程式|\abs{x2-2x-3|-a}=2の実数解の個数を求めよ．

　国立 富山大学 2011年 第2問

f(x)=x3+x2+7x+3,g(x)=\frac{x3-3x+2}{x2+1}とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式f(x)=0はただ1つの実数解をもち，その実数解αは-2＜α＜0をみたすことを示せ．
(2)曲線y=g(x)の漸近線を求めよ．
(3)αを用いて関数y=g(x)の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．

　国立 富山大学 2011年 第1問

f(x)=x3+x2+7x+3,g(x)=\frac{x3-3x+2}{x2+1}とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式f(x)=0はただ1つの実数解をもち，その実数解αは-2＜α＜0をみたすことを示せ．
(2)曲線y=g(x)の漸近線を求めよ．
(3)αを用いて関数y=g(x)の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．

　国立 奈良女子大学 2011年 第5問

a,bは実数でa＜bをみたすものとする．f(x)=2x3-3(a+b)x2+6abxとする．以下の問いに答えよ．
(1)関数f(x)の極大値と極小値を求めよ．
(2)xについての3次方程式f(x)=0が異なる3つの実数解をもつときa,bのとり得る値の範囲を求め，ab平面上に図示せよ．

　国立 富山大学 2011年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=|x2-2x-3|のグラフをかけ．
(2)aを実数とする．このとき，方程式|x2-2x-3|=aの実数解の個数を求めよ．
(3)方程式|\abs{x2-2x-3|-6}=2の実数解の個数を求めよ．