「実数解」について

　私立 北海道医療大学 2011年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)2つの異なる正の数の積が9であり，かつ，それらのうち大きい方の2倍と小さい方の和が12であるという．これらの異なる正の数のうち，大きい方をx，小さい方をyとするとき，以下の問に答えよ．
(i)x,yに関する連立方程式を求めよ．
(ii)xに関する2次方程式を求めよ．
(iii)x,yの値を求めよ．
\mon[\tokeishi]x3+y3の値を求めよ．
(2)f(x)=x2-2ax+4a+5とする．ただし，aは定数とす・・・

　私立 愛知学院大学 2011年 第3問

2次方程式x2+(a-1)x+(a+2)=0が相異なる2つの実数解もつとする．
(1)aの値の範囲を求めなさい．
(2)相異なる2つの実数解がどちらも正であるとき，aの値の範囲を求めなさい．

　私立 愛知工業大学 2011年 第1問

次の[]を適当に補え．
(1)連続する4つの自然数を小さい順にa,b,c,dとする．ac/bd=5/8のとき，a=[]である．
(2)袋の中に0と書かれたカードが1枚，1と書かれたカードが2枚，2と書かれたカードが3枚，合わせて6枚のカードが入っている．この袋から1枚ずつ4枚のカードを取り出し，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，2011となる確率は[]である．また，1枚カードを取り出し，カードを袋に戻すことを4回くり返した・・・

　私立 久留米大学 2011年 第1問

方程式(log3x)2+(p-2)log3x+p=0が，ともに0より大きく，かつ，1より小さい異なる2つの実数解をもつとき，実数pがとりうる値の範囲は[1]である．

　私立 久留米大学 2011年 第6問

2つの実数a,bに対して，2次方程式x2-4ax+2b=0およびx2-4bx+2a=0のどちらも実数解をもたないとき，p=b-aがとりうる値の範囲は[14]であり，q=b+aがとりうる値の範囲は[15]である．

　私立 産業医科大学 2011年 第1問

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)角θが0°≦θ≦{90}°，tanθ=4/3を満たすとき，tanθ/2の値は[]である．
(2)4次方程式2x4+7x3+4x2+7x+2=0の実数解のうち最大のものは[]である．
(3)数列の極限\lim_{n→∞}{\sqrt[3]{(n3-n2)2}-2n\sqrt[3]{n3-n2}+n2}の値は[]である．
(4)円x2-8x+y2-8y+30=0に接する傾き1の2・・・

　私立 福岡大学 2011年 第1問

次の[]をうめよ．
(1)方程式9^{log3x}=27を解くと，x=[]である．
また，方程式log2x+2log4(x-3)=1を解くと，x=[]である．
(2)xについての3次式P(x)をx-2で割ると商はQ(x)，余りはaで，Q(x)をx-2で割ると商はx+3，余りはbである．ただし，a,bは実数とする．方程式P(x)=0が虚数解2+iをもつとき，aとbの値を求めると，(a,b)=[]であり，方程式P(x)=0の実数解は[]である．
(3)1個のさいころを2回投げて，2回目に1・・・

　公立 首都大学東京 2011年 第3問

2次の正方行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)のすべての成分は正であるとする．以下の問いに答えなさい．
(1)tの2次方程式
t2-(a+d)t+ad-bc=0・・・・・・(*)
が異なる2つの実数解をもつことを示し，また，大きい方の解は正であることを示しなさい．
(2)(*)の大きい方の解をt=βと表す．実数yで，
(A-βE)\biggl(\begin{array}{c}
b\\
y
\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}
0\\
0
\end{array}\biggr)
をみたすも・・・

　公立 会津大学 2011年 第5問

関数y=\frac{logx}{x2}のグラフをCとするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数y=\frac{logx}{x2}の増減，極値，Cの凹凸，変曲点を調べて，増減表をつくり，Cを座標平面上に描け．ただし，\lim_{x→∞}\frac{logx}{x2}=0を用いてもよい．
(2)aを定数とする．方程式logx=ax2の異なる実数解の個数を調べよ．

　公立 富山県立大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)nは0または正の整数とする．\comb{n}{0}+3・\comb{n}{1}+32・\comb{n}{2}+・・・+3n・\comb{n}{n}=4nを示せ．
(2)3次方程式x3-x2+2x-1=0の実数解は無理数であることを，背理法を用いて示せ．