「実数解」について

　国立 山口大学 2010年 第2問

xについての方程式2x3-(3a+1)x2+2ax+b=0が異なる2つの実数解をもつときの定数a,bの条件を求めなさい．

　国立 奈良女子大学 2010年 第5問

kを実数とする．f(x)=(x-k)2+k2-k-1について以下の問いに答えよ．
(1)kの値によらずf(3)＞0となることを示せ．
(2)2次方程式f(x)=0が実数解をもつようなkの値の範囲を求めよ．
(3)f(n)＜0をみたす正の整数nがただ一つ存在するようなkの値の範囲を求めよ．

　国立 長崎大学 2010年 第1問

a,bは実数で，a＞1とする．tの関数
f(t)=2t3-3(a+1)t2+6at+b
について，次の問いに答えよ．
(1)関数f(t)の極値を，a,bを用いて表せ．
(2)aの値をx座標，bの値をy座標とするxy平面上の点P(a,b)を考える．このとき，3次方程式f(t)=0が相異なる3つの実数解をもつような点P(a,b)の存在する領域Dをxy平面上に図示せよ．
(3)DおよびDの境界からなる領域をEとする．領域Eのうち，
y≦-x2+4x-11
を満たす部分の面積を求めよ．

　国立 大分大学 2010年 第4問

0＜k＜1である定数kについて，
\begin{eqnarray}
&&f(x)=cosx-k\nonumber\\
&&g(x)=sinx-ktanx\nonumber
\end{eqnarray}
とおく．
(1)0＜x＜π/2で，方程式f(x)=0は，ただ1つの実数解をもつことを示しなさい．
(2)0＜x＜π/2で，方程式g(x)=0は，ただ1つの実数解をもつことを示しなさい．
(3)(2)での実数解をαとする．定積分
∫0^αg(x)dx
をkの式で表しなさい．

　国立 高知大学 2010年 第4問

kとlを実数の定数とし，xに関する方程式
x4-2(k-l)x2+(k2+l2-6k-8l)=0・・・・・・①
を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)方程式①でk=2,l=1としたときの解を求めよ．
(2)方程式①が実数解を持たないための必要十分条件をkとlで表せ．
(3)方程式①の異なる実数解の個数が3つであるような実数の組(k,l)を座標平面上に図示せよ．
(4)方程式①の異なる実数解の個数がただ1つであるような整数の組(k,l)をすべて求めよ．・・・

　国立 長崎大学 2010年 第7問

4次方程式の解について，次の問いに答えよ．ただし，次のことは既知としてよい．
\begin{screen}
自然数k,l,mが次の条件
\mon[(イ)]kとlは1以外の公約数をもたない
\mon[(ロ)]kはlmの約数である
を満たすならば，kはmの約数である．
\end{screen}
(1)a,b,c,dは整数で，d≠0とする．次の方程式
x4+ax3+bx2+cx+d=0
が有理数の解rをもつとき，|r|は自然数であり，かつ|d|の約数に限ることを証明せよ．
(2)次の方程式
2x4-2・・・

　国立 鳥取大学 2010年 第4問

a,kは定数であり，0＜k＜1とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式x=a+ksinxはただ一つの実数解をもつことを示せ．
(2)不等式|sinθ|≦|θ|がすべての実数θに対して成立することを示せ．
(3)不等式|sinα-sinβ|≦|α-β|がすべての実数α,βに対して成立することを示せ．
(4)数列{xn}を，x0=0,xn=a+ksinx_{n-1}(n=1,2,・・・)によって定める．数列{xn}は(1)の方程式x=a+ksinxの解に収束することを示せ．
\e・・・

　国立 山口大学 2010年 第2問

次の初項と漸化式で定まる数列{an}を考える．
a1=1/2,a_{n+1}=e^{-an}(n=1,2,3,・・・)
ここで，eは自然対数の底で，1＜e＜3である．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数nについて1/3＜an＜1が成り立つことを示しなさい．
(2)方程式x=e^{-x}はただ1つの実数解をもつことと，その解は1/3と1の間にあることを示しなさい．
(3)関数f(x)=e^{-x}に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つこと・・・

　国立 山形大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)f(x)=x4-12x2+8のとき，f(x)+f^{\prime\prime}(x)=0によって表される4次方程式の実数解を求めよ．
(2)sin19/12πの値を求めよ．
(3)定積分∫0^πxsin2xdxを求めよ．

　国立 山形大学 2010年 第4問

関数f(x)は，すべての実数xに対してf(x+2π)=f(x)を満たす連続な関数とし，∫0^{2π}f(t)dt＞0とする．さらに
g(x)=x3+(3x2-1)∫0^πf(2t+x)dt
とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)すべての実数aに対して∫0af(t)dt=∫_{2π}^{a+2π}f(t)dtが成り立つことを示せ．
(2)すべての実数aに対して∫a^{a+2π}f(t)dt=∫0^{2π}f(t)dtが成り立つことを示せ．
(3)関数g(x)は3次関数であること・・・