「実数解」について

　国立 大分大学 2014年 第4問

a,bを実数とし，f(x)={2}^{2x-1}-a・{2}x+bとおく．
(1)a=3,b=4のとき，方程式f(x)=0の解を求めなさい．
(2)a＞0,b=0のとき，方程式f(x)=0の解を求めなさい．
(3)方程式f(x)=0が異なる2つの実数解をもつとき，点(a,b)の表す領域を図示しなさい．

　国立 宮城教育大学 2014年 第4問

関数f(x)=e^{√2sinx}を考える．次の問いに答えよ．
(1)0≦x≦2πにおいて，関数f(x)の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(2)aを実数とする．関数f(x)の導関数をf´(x)とするとき，xの方程式f´(x)=aの0≦x≦2πにおける実数解の個数を求めよ．

　国立 高知大学 2014年 第1問

0≦θ≦πとする．関数f(x)=(x-cosθ+sinθ)2+2sin2θ-1について，次の問いに答えよ．
(1)方程式f(x)=0が実数解を持つようなθの範囲を求めよ．
(2)方程式f(x)=0が実数解を持つとき，その二つの解をα,βとする．このとき，α+βの最大値および最小値を求めよ．
(3)関数y=f(x)のグラフとx軸で囲まれる部分の面積が\frac{√2}{3}となるときのθの値を求めよ．

　国立 群馬大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)3次方程式x3-3x+1=0は相異なる3つの実数解をもつことを示せ．
(2)x3-3x+1=0の解で最小のものをα，最大のものをβとする．このとき，次の定積分の値を求めよ．
∫_α^β|x2-1|dx

　国立 富山大学 2014年 第3問

実数a,b,c(b≠0)に対して，次の問いに答えよ．
(1)2次方程式x2-(a+c)x+ac-b2=0は異なる2つの実数解をもつことを示せ．
(2)(1)の2つの実数解をα,β(α＜β)とする．xについての恒等式
(x+p)(x-α)-(x+q)(x-β)=1
が成り立つとき，定数p,qをα,βを用いて表せ．
(3)2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&c
\end{array})と(2)のα,pに対して，B=(A+pE)(A-αE)とおく．このとき，B2=B・・・

　国立 浜松医科大学 2014年 第2問

関数f(x)=\frac{3√3}{sinx}-\frac{1}{cosx}(0＜|x|＜π/2)を考える．以下の問いに答えよ．
(1)y=f(x)の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)f(x)の第2次導関数f^{\prime\prime}(x)は，3次式P(t)=t(2t2-1)を用いて，
f^{\prime\prime}(x)=3√3P(\frac{1}{sinx})-P(\frac{1}{cosx})
と表されることを示せ．また，0＜x1＜x2＜π/2のときf^{\prime\prime}(x1)＞f^{\prime\prime・・・

　国立 奈良教育大学 2014年 第1問

すべての実数mに対して，次のxについての2次方程式が実数解をもつときの，aの値の範囲を求めよ．
x2-4x+3+m(x-a)=0

　国立 和歌山大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)tを実数とする．xについての方程式{2}x+{2}^{-x}=tの実数解の個数を調べよ．
(2)aとbを実数とし，xについての方程式{4}x+{4}^{-x}+a({2}x+{2}^{-x})+b=0が，ちょうど3個の実数解をもつとする．このとき，点(a,b)の存在する範囲を図示せよ．

　国立 島根大学 2014年 第3問

aを実数とし，f(x)=x2+ax+a+3とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)2次方程式x2+ax+a+3=0が正の実数解のみをもつようなaの値の範囲を求めよ．
(2)放物線y=f(x)の頂点のy座標をg(a)とする．このとき，aが(1)で求めた範囲を動くとき，g(a)の最大値を求めよ．

　国立 茨城大学 2014年 第2問

サイコロを2回続けて振って出た目の数を順にa,bとする．このとき，3次関数f(x)=x3-ax+bについて以下の各問に答えよ．
(1)f(x)の極大値と極小値をa,bを用いて表せ．
(2)3次方程式f(x)=0が相異なる実数解をちょうど2つ持つようなa,bの組を求めよ．
(3)(2)で求めたa,bの組に対して，曲線y=f(x)とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)f(x)=0が相異なる3つの実数解を持つ確率を求めよ．