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次の問いに答えよ.
(1)tを実数とする.xについての方程式{2}x+{2}^{-x}=tの実数解の個数を調べよ.
(2)aとbを実数とし,xについての方程式{4}x+{4}^{-x}+a({2}x+{2}^{-x})+b=0が,ちょうど3個の実数解をもつとする.このとき,点(a,b)の存在する範囲を図示せよ.
国立 京都工芸繊維大学 2014年 第4問xの2次方程式(*)x2-2ax+2ab-b2=0について,以下の問いに答えよ.ただし,a,bは実数とする.
(1)(*)は実数解のみをもつことを証明せよ.
(2)1個のさいころを2回投げて出た目の数を順にa,bとする.このa,bに対して(*)を考え,
「(*)は符号の異なる2つの解をもつ」という事象をA,
「(*)の2つの解の差の絶対値は6以下である」という事象をB
とする.ただし,(*)が重解をもつときは(*)の2つの解・・・
私立 慶應義塾大学 2014年 第2問次の[]にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい.
(1)座標平面上に曲線C1:y=x2-1がある.x軸に関してC1に対称な曲線をC2とすると,C2を表す方程式は[ケ]である.
0≦a≦1とするとき,-a≦x≦aにおいて,曲線C2と直線y=a2-1,および2直線x=-a,x=aで囲まれた図形の面積S(a)は,
S(a)=[コ]
となる.S(a)は,a=[サ]のとき最大値[シ]をとる.
(2)関数f(x)=8x-6・4x+5・2xを・・・
私立 慶應義塾大学 2014年 第3問a1=0,a_{n+1}=log(an+e)(n=1,2,3,・・・)で定まる数列{an}の収束について調べたい.以下の問いに答えなさい.
(1)方程式x=log(x+e)はx>0の範囲でただ1つの実数解βをもつことを証明しなさい.
(2)すべての自然数nについて0≦an<βが成り立つことを証明しなさい.
(3)0<a<bのときlogb-loga<\frac{b-a}{a}が成り立つことを証明しなさい.
(4)すべての自然数nについてβ-a_{n+1}<1/e(β-an)が成り立つこと・・・
私立 福岡大学 2014年 第1問2次方程式x2+ax+b=0の1つの解が複素数x=2+√3iのとき,実数a,bを求めると,(a,b)=[]である.また,3次方程式2x3-5x2+cx+d=0の1つの解が複素数x=2+√3iのとき,この3次方程式の実数解はx=[]である.ただし,c,dは実数とする.
私立 金沢工業大学 2014年 第2問次の[]に当てはまるものを下記の①~④のうちから一つ選び,その番号をマークせよ.ただし,同じものをくり返し選んでもよい.
a,b,cを定数とし,a≠0とする.条件p,q,r,s,tを次のように定める.
p:方程式ax2+bx+c=0は異なる2つの実数解をもつ.
q:座標平面で関数y=ax2+bx+cのグラフはx軸と異なる2点で交わる.
r:ac<0である.
s:b2-ac>0である.
t:(a+b+c)(a-b+c)<0である.
このとき,・・・
私立 広島修道大学 2014年 第3問次の問に答えよ.
(1)関数y=-2x3-3x2+12xの極値を求め,そのグラフをかけ.
(2)0≦θ≦πとする.mが実数のとき,次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ.
sinθ(2cos2θ-3sinθ+10)-m=0
私立 早稲田大学 2014年 第2問3次関数f(x)=x3-ax-bについて,次の問に答えよ.
(1)a>0であるとき,f(x)の極大値と極小値を求めよ.
(2)次の(i),(ii),(iii)を示せ.
(i)27b2-4a3>0のとき,3次方程式f(x)=0はただ1つの実数解をもつ.
(ii)27b2-4a3=0かつa>0のとき,3次方程式f(x)=0は異なる2つの実数解をもつ.
(iii)27b2-4a3<0のとき,3次方程式f(x)=0は異なる3つの実数解をもつ.
私立 神奈川大学 2014年 第2問xの2次方程式x2+ax+b=0について,以下の問いに答えよ.
(1)この方程式が異なる2つの実数解をもたない条件をa,bの不等式で表せ.
(2)(1)の不等式を満たす点(a,b)の領域を図示せよ.
(3)a,bが(1)の不等式を満たすとき,a+bの最小値と,その最小値を与えるa,bの値を求めよ.
私立 昭和大学 2014年 第1問次の問いに答えよ.
(1)連立不等式
{\begin{array}{l}
-x+4<9\
3x-2<a\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
を満たす整数xが存在しないようなaの値の範囲を求めよ.
(2)2次方程式x2+2kx+k+12=0が実数解をもち,それがすべて正となるような定数kの値の範囲を求めよ.
(3)△ABCにおいてa2=b2+c2+bcのとき,∠Aを求めよ.ただし,頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれa,b,cとする.
(4)0°≦x\leq・・・