「対数」について

　国立 九州工業大学 2015年 第3問

nを2以上の自然数とし，関数f(x)をf(x)=xnlogx(x＞0)とする．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．
(1)x＞0のとき，不等式logx+1/x＞0を証明せよ．
(2)\lim_{x→+0}xnlogx=0を示せ．
(3)関数f(x)の増減を調べ，その最小値を求めよ．また，曲線y=f(x)の概形をかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．
(4)f(x)が最小値をとるときのxの値をcnとし
In=∫_{cn}1f(x)dx
とする．\lim_{n→\inft・・・

　国立 福岡教育大学 2015年 第4問

次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1)関数f(x)=x-logxの最小値を求めよ．
(2)aを1より大きい定数とし，曲線y=asinx(0≦x≦π/2)と曲線y=tanx(0≦x＜π/2)によって囲まれる部分Dの面積が1-log2であるとする．次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）]aの値を求めよ．
\mon[（イ）]Dをx軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．
\end・・・

　国立 三重大学 2015年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)a,b,cは正の実数で，a≠1，c≠1とするとき，logab=\frac{logcb}{logca}となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，logpMr=rlogpM（p＞0，p≠1，M＞0，rは実数）を用いてよい．
(2)方程式log4(x+3)=log2x-1を解け．
(3)方程式log4(x+k)=log2x-1が解を持つような実数kの範囲を求めよ．

　国立 三重大学 2015年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)a,b,cは正の実数で，a≠1，c≠1とするとき，logab=\frac{logcb}{logca}となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，logpMr=rlogpM（p＞0，p≠1，M＞0，rは実数）を用いてよい．
(2)方程式log4(x+3)=log2x-1を解け．
(3)方程式log4(x+k)=log2x-1が解を持つような実数kの範囲を求めよ．

　国立 三重大学 2015年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)a,b,cは正の実数で，a≠1，c≠1とするとき，logab=\frac{logcb}{logca}となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，logpMr=rlogpM（p＞0，p≠1，M＞0，rは実数）を用いてよい．
(2)方程式log4(x+3)=log2x-1を解け．
(3)方程式log4(x+k)=log2x-1が解を持つような実数kの範囲を求めよ．

　国立 三重大学 2015年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)a,b,cは正の実数で，a≠1，c≠1とするとき，logab=\frac{logcb}{logca}となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，logpMr=rlogpM（p＞0，p≠1，M＞0，rは実数）を用いてよい．
(2)方程式log4(x+3)=log2x-1を解け．
(3)方程式log4(x+k)=log2x-1が解を持つような実数kの範囲を求めよ．

　国立 茨城大学 2015年 第1問

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，eは自然対数の底である．
(1)関数f(x)=x2\sqrt{1+logx}のx=e3における微分係数f´(e3)を求めよ．
(2)0≦x≦πの範囲において，2つの曲線y=sinxとy=sinx/2で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)極限\lim_{x→2}\frac{1}{x3-8}∫2xt22^{t2}dtを求めよ．

　私立 上智大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)(i)a＞0，a≠1，M＞0である実数a,Mに対し，aを底とするMの対数logaMの定義を述べよ．
(ii)a＞0，b＞0，c＞0，a≠1，c≠1である実数a,b,cに対し，底の変換公式
logab=\frac{logcb}{logca}
が成り立つことを示せ．
(2)正の実数xの自然対数logxは
logx=∫1x1/tdt
と表される．これを用いて，正の実数x,yに対し
log(xy)=logx+logy
が成り立つことを示せ．
\end{e・・・

　私立 福岡大学 2015年 第10問

関数f(x)=log(1+\sqrt{2+x})-1/2\sqrt{2+x}について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1)関数y=f(x)の極値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)および直線y=\frac{log3-1}{4}x+\frac{log3-1}{2}とで囲まれる部分の面積を求めよ．

　国立 東北大学 2014年 第6問

以下の問いに答えよ．
(1)nを自然数，aを正の定数として，
f(x)=(n+1){log(a+x)-log(n+1)}-n(loga-logn)-logx
とおく．x＞0における関数f(x)の極値を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．
(2)nが2以上の自然数のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
1/nΣ_{k=1}n\frac{k+1}{k}＞(n+1)^{1/n}