「対数」について

　国立 茨城大学 2012年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)極限\lim_{x→∞}(\sqrt{x2+x+3}-x)を求めよ．
(2)関数y=(x-2)8(2x+3)6を微分せよ．
(3)次の定積分を求めよ．ただし，対数は自然対数であり，eは自然対数の底である．
(i)∫01\frac{x}{\sqrt{3x+1}}dx\qquad(ii)∫_{2}^{2e}1/2logx/2dx

　国立 東京農工大学 2012年 第3問

区間1≦x≦4で定められた関数f(x)=\sqrt{4x-x2},g(x)=\sqrt{xlog4/x}について，次の問いに答えよ．ただし対数は自然対数とする．
(1)曲線y=f(x)とx軸および直線x=1で囲まれた部分を，x軸の周りに1回転させてできる回転体の体積Vを求めよ．
(2)区間1≦x≦4において{f(x)}2-{g(x)}2≧0が成り立つことを示せ．
(3)2つの曲線y=f(x),y=g(x)と直線x=1で囲まれた部分をDとおく．Dをx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積Wを・・・

　国立 福岡教育大学 2012年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)無限級数
1+\frac{1}{1+ex}+\frac{1}{(1+ex)2}+・・・+\frac{1}{(1+ex)n}+・・・
はすべての実数xについて収束することを示し，その和を求めよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(2)(1)で求めた無限級数の和をf(x)とする．方程式logf(x)=xを解け．ただし，対数は自然対数とする．

　私立 東京理科大学 2012年 第2問

2つの関数
x=g(θ)=9/4sin2θ,y=h(x)=logx
に対して，関数g(θ)と関数h(x)の合成関数
f(θ)=h(g(θ))
を考える．ただし，対数は自然対数とする．
(1)f(π/3)=-[ア]log2+\frac{[イ]}{[ウ]}log3である．
(2)実数θ1がsinθ1+cosθ1=\frac{\sqrt{82}}{8}を満たすとき，
f(θ1)=-[エ]log2+[オ]log3
で・・・

　私立 中央大学 2012年 第1問

次の問に答えよ．
(1)a＞0，a≠1，M＞0とする．aを底とするMの対数logaMの定義を述べよ．
(2)(1)で述べた定義に基づいて底の変換公式logaM=\frac{logbM}{logba}を証明せよ．ただし，a,b,Mは正の実数で，a≠1，b≠1である．
(3)mlog3p+nlog9q=2を満たす正の整数m,nが存在するような正の整数の組(p,q)をすべて求めよ．

　私立 中央大学 2012年 第2問

Oをxy平面の原点とする．以下の設問に答えよ．
(1)xy平面上の点A(a1,a2)と点B(b1,b2)を考える．
a1＞0,a2＞0,b1＞0,b2＜0
であるとき，△AOBの面積をa1,a2,b1,b2を用いて表せ．
(2)対数関数
f(x)=log2x,g(x)=log_{1/4}x
に対し，xy平面上の曲線
\begin{array}{ll}
C1:y=f(x)&(x≧1)\
C2:y=g(x)&(x≧1)
\end{array}
を考える．C1上に点S(s,f(s))，C2上に・・・

　私立 福岡大学 2012年 第9問

f(x)=\frac{(logx)2}{x}(x＞0)とする．曲線C:y=f(x)上の点P(a,f(a))と点Q(b,f(b))における曲線Cの2つの接線が共に原点を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，a＜bで，対数は自然対数とする．
(1)a,bの値と点Q(b,f(b))における曲線Cの法線の方程式を求めよ．
(2)点P(a,f(a))におけるCの接線，点Q(b,f(b))におけるCの法線，および曲線Cによって囲まれる部分の面積を求めよ．

　国立 信州大学 2011年 第2問

曲線y=ax3と曲線y=5logxが接しているとする．ただし，aは正の定数で，対数は自然対数である．
(1)aの値を求めよ．
(2)2つの曲線およびx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．

　国立 奈良女子大学 2011年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=xlogx(1/3≦x≦1)の増減，凹凸を調べて，そのグラフをかけ．ただし対数は自然対数とする．また自然対数の底eは，2＜e＜3をみたす．
(2)定積分∫_{1/3}1xlogxdxを求めよ．

　国立 佐賀大学 2011年 第3問

関数
f(t)=∫1t\frac{logx}{x+t}dx(t＞0)
を考える．ただし，対数は自然対数とする．
(1)この定積分をx=tyによって置換することにより，
f(t)=logt∫_{t^{-1}}1\frac{1}{y+1}dy+∫_{t^{-1}}1\frac{logy}{y+1}dy
を示せ．
(2)d/dt∫_{t^{-1}}1\frac{logy}{y+1}dy=-\frac{logt}{t(t+1)}を示せ．
(3)導関数f^{\prime}(t)を求めよ．
(4)関数f(t)の極値を求めよ．