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下の問いに答えよ.
(1)不定積分∫xe^{-2x}dx,∫x2e^{-2x}dxを求めよ.
(2)すべての実数xについて
f(x)=(2x2+3)e^{-x}+∫0^{log2}f(t)e^{-t}dt
をみたす関数f(x)を求めよ.ただし,対数は自然対数とする.
国立 茨城大学 2011年 第1問以下の各問に答えよ.ただし,対数は自然対数であり,eは自然対数の底である.
(1)次の関数を微分せよ.
\mon[(i)]y=sin32x
\mon[(ii)]y=log\frac{ex}{ex+1}
(2)次の不定積分を求めよ.
(3)∫\frac{1}{x2}(1+2/x)2dx
\mon[(ii)]∫\frac{x2}{x2-1}dx
(4)定積分∫_{-1}^{log2}e^{|x|}e^{x}dxを求めよ.
\end{e・・・
国立 和歌山大学 2011年 第4問f(x)=2x2-15x+16+11logxとする.このとき,次の問いに答えよ.ただし,対数は自然対数であり,その底はe=2.718・・・である.
(1)x≧1のとき,f(x)>0であることを示せ.
(2)曲線y=f(x)とx軸および2直線x=2,x=3で囲まれる部分の面積を求めよ.
(3)log27/4>1.8であることを示せ.
国立 九州工業大学 2011年 第4問曲線C1:y=√x|logx|と曲線C2:y=√xがある.ただし,対数は自然対数とする.次に答えよ.
(1)関数f(x)=√xlogxの増減,極値を調べ,曲線y=f(x)の概形をかけ.ただし,\lim_{x→+0}√xlogx=0であることを用いてよい.
(2)曲線C1,C2はx>0において2つの交点をもつ.それらの座標を求めよ.
(3)(2)で求めた交点のx座標をa,b(a<b)とする.曲線C1,C2のa≦x≦bの部分が囲む図形の面積Sを求めよ.
国立 福岡教育大学 2011年 第4問nを2以上の自然数とし,xの関数f(x),g(x)を
f(x)=xnlog2x,g(x)=log2x
とする.ただし,対数は自然対数とする.次の問いに答えよ.
(1)f(x)の極値を求めよ.
(2)曲線y=f(x)の変曲点を求めよ.
(3)2つの曲線y=f(x)とy=g(x)で囲まれた図形の面積Snを求めよ.
(4)\lim_{n→∞}Snを求めよ.
私立 中央大学 2011年 第2問対数関数
f(x)=log2x,g(x)=log_{1/4}x
に対し,3つの不等式
x≧1,y≦f(x),y≧g(x)
によって定められるxy平面上の領域をDとする.また,xy平面上の点P(x,y)でx,yがともに整数であるものを``格子点''と呼ぶ.このとき,以下の設問に答えよ.
(1)領域Dを図示せよ.
(2)「Dに属する格子点P(x,y)でx≦8であるもの」の総数を求めよ.
(3)「Dに属する格子点P(x,y)でx≦33,y≧1であるもの」・・・
私立 聖マリアンナ医科大学 2011年 第4問関数f(x)=2log\frac{2+\sqrt{4-x2}}{x}-\sqrt{4-x2}を考える.ただし,対数は自然対数である.以下の問いに答えなさい.
(1)関数f(x)の定義域は0<x≦aである.aの値を求めなさい.
(2)曲線y=f(x)の概形をかきなさい.なお,yの増減およびグラフの凹凸を調べた過程も記載しなさい.
(3)0<x0<aとし,上問(2)の曲線y=f(x)をCとする.C上の点P(x0,y0)におけるCの接線とy軸との交点をQとする.線分PQの長さを求めなさい.ただし,aは上問・・・
私立 京都薬科大学 2011年 第1問次の[]にあてはまる数または式を記入せよ.
(1)\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{1+5/6}}}}を簡単にすると,\frac{[]}{[]}となる.
(2)整式x^{2011}をx2+1で割った余りは,[]となる.
(3)対数方程式log_{x-1}(x3-3x2-x+3)=2を解くと,x=[]となる.
(4)-{90}°<x<0°において,\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}=8の・・・
公立 宮城大学 2011年 第1問次の空欄[ア]から[ケ]にあてはまる数や式を書きなさい.
(1)自然数nに対しn!でnの階乗1・2・3・・・・・(n-1)・nを表し,2を底とする対数関数をlog2(x)とする.このとき,
log2(1!)-log2(2!)+log2(3!)-log2(4!)=[ア]
となる.
(2)三角形ABCにおいて∠A,∠B,∠Cの大きさをA,B,C,辺BCの長さをa,辺CAの長さをb,辺ABの長さをc,・・・
国立 大阪大学 2010年 第1問関数
f(x)=2log(1+ex)-x-log2
を考える.ただし,対数は自然対数であり,eは自然対数の底とする.
(1)f(x)の第2次導関数をf^{\prime\prime}(x)とする.等式
logf^{\prime\prime}(x)=-f(x)
が成り立つことを示せ.
(2)定積分∫0^{log2}(x-log2)e^{-f(x)}dxを求めよ.