「対称」について

　国立 九州大学 2012年 第2問

関数f(x)=x3+3x2+x-1を考える．曲線C:y=f(x)について，以下の問いに答えよ．
(1)t≧0のとき，曲線Cは傾きがtである接線を2本持つことを示せ．
(2)(1)において，傾きがtである2本の接線と曲線Cとの接点を，それぞれP(p,f(p))，Q(q,f(q))とする(ただしp＜q)．このとき，点Pと点Qは点A(-1,0)に関して対称の位置にあることを示せ．
(3)t≧0のとき，2点P，Qの間の距離の最小値を求めよ．また，最小値を与えるときのP，Qのx座標p,qもそれぞれ求めよ．

　国立 鹿児島大学 2012年 第3問

平面上に互いに異なる3点O，A，Bがあり，それらは同一直線上にはないものとする．　OA　=2,　OB　=3とする．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルbとし，その内積をベクトルa・ベクトルb=tとおく．∠　AOB　の二等分線と線分ABとの交点をCとし，直線OAに関して点Bと対称な点をDとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)ベクトルOCをベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(2)ベクトルODをt,ベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(3)ベクトルOC⊥ベクトルODと・・・

　国立 鹿児島大学 2012年 第3問

平面上に互いに異なる3点O，A，Bがあり，それらは同一直線上にはないものとする．　OA　=2,　OB　=3とする．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルbとし，その内積をベクトルa・ベクトルb=tとおく．∠　AOB　の二等分線と線分ABとの交点をCとし，直線OAに関して点Bと対称な点をDとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)ベクトルOCをベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(2)ベクトルODをt,ベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(3)ベクトルOC⊥ベクトルODと・・・

　国立 鹿児島大学 2012年 第2問

平面上に互いに異なる3点O，A，Bがあり，それらは同一直線上にはないものとする．　OA　=2,　OB　=3とする．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルbとし，その内積をベクトルa・ベクトルb=tとおく．∠　AOB　の二等分線と線分ABとの交点をCとし，直線OAに関して点Bと対称な点をDとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)ベクトルOCをベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(2)ベクトルODをt,ベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(3)ベクトルOC⊥ベクトルODと・・・

　国立 鹿児島大学 2012年 第6問

極方程式r=\frac{a}{2+cosθ}で与えられる2次曲線がある．ただし，aは正の定数とする．このとき次の各問いに答えよ．
(1)この2次曲線を直交座標(x,y)に関する方程式で表せ．
(2)(1)で求めた2次曲線をx軸方向にa/3だけ平行移動した2次曲線をCで表す．Cを直交座標x,yの方程式で表せ．また，この2次曲線Cはx軸と2点AとBで交わる．この2点A，Bの座標を求めよ．ただし，Bのx座標は正とする．
(3)(2)で求めた2次曲線C上のx軸上にない点P(α,・・・

　国立 群馬大学 2012年 第1問

関数f(x)=x3+ax2+bxのグラフが点(p,q),(p≠0)に関して点対称であるとする．
(1)a,bをp,qを用いて表せ．
(2)関数g(x)=|f(x)|のグラフが直線x=2に関して線対称であるとする．a,bの値を求めよ．

　国立 群馬大学 2012年 第6問

関数f(x)=x3+ax2+bxのグラフが点(p,q),(p≠0)に関して点対称であるとする．
(1)a,bをp,qを用いて表せ．
(2)関数g(x)=|f(x)|のグラフが直線x=2に関して線対称であるとする．a,bの値を求めよ．

　国立 福井大学 2012年 第2問

四面体OABCにおいて，OA=2，OB=√2，OC=1であり，∠AOB=π/2，∠AOC=π/3，∠BOC=π/4であるとする．また，3点O，A，Bを含む平面をαとし，点Cから平面αに下ろした垂線とαとの交点をH，平面αに関してCと対称な点をKとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルc・・・

　国立 福井大学 2012年 第2問

四面体OABCにおいて，OA=2，OB=√2，OC=1であり，∠AOB=π/2，∠AOC=π/3，∠BOC=π/4であるとする．また，3点O，A，Bを含む平面をαとし，点Cから平面αに下ろした垂線とαとの交点をH，平面αに関してCと対称な点をDとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルc・・・

　国立 福井大学 2012年 第4問

曲線C:y=e^{-x}上の点A(a,e^{-a})における法線をℓとし，ℓに関して点(a,0)と対称な点をB，直線ABとy軸との交点をPとする．点Pのy座標をf(a)とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(a)をaを用いて表せ．
(2)aが実数全体を動くとき，f(a)の最大値とそのときのaの値を求めよ．
(3)aを(2)で求めた値とするとき，曲線C，y軸と線分APで囲まれた部分を，y軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．