タグ「導関数」の検索結果
（1ページ目：全159問中1問～10問を表示）
関数f(x)を
f(x)=e^{-x}x2(x2+ax+b)
で定める．ただし，a,bは実数，eは自然対数の底とする．次の問いに答えよ．
(1)f(x)の導関数をf^{\prime}(x)とする．f(-1)=10e，f´(1)=0のとき，a,bの値を求めよ．
(2)a,bを(1)で求めた値とする．このときx≧0におけるf(x)の最大値，最小値を求め，そのときのxの値を求めよ．ただし，2＜e＜3であることを用いてよい．
国立 富山大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)は区間[a,b]で連続であり，区間(a,b)で第2次導関数f^{\prime\prime}(x)をもつとする．さらに，区間(a,b)でf^{\prime\prime}(x)＜0が成り立つとする．y=g(x)を2点(a,f(a))，(b,f(b))を通る直線の方程式とするとき，区間(a,b)で常にf(x)＞g(x)であることを示せ．
(2)nを2以上の自然数とするとき，j=1,2,・・・,n-1について
\frac{logj+log(j+1)}{2}＜∫j^{j+1}logxdx
が成り立つことを示せ．
(3)nを2以上の自然数・・・
国立 富山大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)は区間[a,b]で連続であり，区間(a,b)で第2次導関数f^{\prime\prime}(x)をもつとする．さらに，区間(a,b)でf^{\prime\prime}(x)＜0が成り立つとする．y=g(x)を2点(a,f(a))，(b,f(b))を通る直線の方程式とするとき，区間(a,b)で常にf(x)＞g(x)であることを示せ．
(2)nを2以上の自然数とするとき，j=1,2,・・・,n-1について
\frac{logj+log(j+1)}{2}＜∫j^{j+1}logxdx
が成り立つことを示せ．
(3)nを2以上の自然数・・・
国立 富山大学 2015年 第2問関数f(x)は区間[a,b]で連続であり，区間(a,b)で第2次導関数f^{\prime\prime}(x)をもつとする．さらに，区間(a,b)でf^{\prime\prime}(x)＜0が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)f(x)＞\frac{1}{b-a}{(b-x)f(a)+(x-a)f(b)}(a＜x＜b)が成り立つことを示せ．
(2)cがa＜c＜bを満たすならば
f(x)≦f´(c)(x-c)+f(c)(a＜x＜b)
が成り立つことを示せ．
国立 群馬大学 2015年 第4問すべての実数xにおいて，関数f(x)は微分可能で，その導関数f´(x)は連続とする．f(x)，f´(x)が等式
∫0x\sqrt{1+(f´(t))2}dt=-e^{-x}+f(x)
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(0)を求めよ．
(2)f´(0)を求めよ．
(3)f(x)を求めよ．
(4)∫01x\sqrt{1+(f´(x))2}dxを求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第5問すべての実数xにおいて，関数f(x)は微分可能で，その導関数f´(x)は連続とする．f(x)，f´(x)が等式
∫0x\sqrt{1+(f´(t))2}dt=-e^{-x}+f(x)
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(0)を求めよ．
(2)f´(0)を求めよ．
(3)f(x)を求めよ．
(4)∫01x\sqrt{1+(f´(x))2}dxを求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第5問すべての実数xにおいて，関数f(x)は微分可能で，その導関数f´(x)は連続とする．f(x)，f´(x)が等式
∫0x\sqrt{1+(f´(t))2}dt=-e^{-x}+f(x)
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)を求めよ．
(2)曲線y=f(x)と直線x=1，およびx軸，y軸で囲まれた部分を，y軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第4問nを自然数とする．
(1)n以下の非負の整数kについて，関数x(1+x)nの導関数のxkの係数を求めよ．
(2)Σ_{k=0}n(k+1)2\comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}を示せ．
国立 信州大学 2015年 第3問nを自然数とする．
(1)n以下の非負の整数kについて，関数x(1+x)nの導関数のxkの係数を求めよ．
(2)Σ_{k=0}n(k+1)2\comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}を示せ．
私立 東京理科大学 2015年 第2問pを正の定数として，関数f(x)を
f(x)=-5xplogx(x＞0)
と定める．aはf´(a)=0を満たす正の実数とする．ここで，logxは自然対数であり，eは自然対数の底を表す．また，f´(x)はf(x)の導関数である．
(1)aの値をpを用いて表せ．
(2)不定積分∫f(x)dxを求めpを用いて表せ．
(3)直線x=aとx軸，および曲線y=f(x)のa≦x≦1の部分で囲まれる部分の面積をSとする．このとき，
\lim_{p→+0}S
の値を求めよ．必要ならば，・・・
