「導関数」について

　私立 中央大学 2012年 第4問

関数f(x)の第n次導関数を\frac{dn}{dxn}f(x)で表す．いま，自然数nに対して関数Hn(x)を次で定義する．
Hn(x)=(-1)ne^{x2}\frac{dn}{dxn}e^{-x2}
以下の問いに答えよ．
(1)H1(x),H2(x),H3(x)を求めよ．
(2)導関数d/dxHn(x)をHn(x)とH_{n+1}(x)を用いて表せ．さらに，nに関する数学的帰納法によりHn(x)がn次多項式（整式）であることを証明せよ．
(3)n≧3のとき，定積分
Sn(a)=∫0axHn(x)e^{-x2}dx・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)△ABCの3辺の長さがそれぞれ
AB=5,BC=7,AC=4√2
であるとする．この三角形の∠ABCの大きさをBで表すと
cosB=\frac{[ア]}{[イ]}
であり，△ABCの外接円の半径Rは，
R=\frac{[ウ]}{[エ]}\sqrt{[オ]}
である．また，∠ABCの2等分線と△ABCの外接円の交点でBと異なる点をDとする．このとき，
AD=・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第2問

以下の問いに答えなさい．
(1)関数y=x^{√x}（ただし，x＞0）について，導関数y´を求め，y´=0となるxの値を求めなさい．
(2)連立不等式
\setstretch{2}
{\begin{array}{l}
1/4x2≦y≦1/2x2\
1/4y2≦x≦1/2y2\
x＞0\
y＞0
\end{array}.
\setstretch{1.4}
で表される領域の面積を求めなさい．

　私立 九州産業大学 2012年 第5問

関数f(x)=xe^{-x}(0≦x≦3)とする．曲線y=f(x)，x軸および直線x=3で囲まれる図形をGとする．
(1)関数f(x)の導関数f´(x)=[ア]である．
(2)関数f(x)の極値は[イ]である．
(3)曲線y=f(x)の変曲点の座標は[ウ]である．
(4)図形Gの面積は[エ]である．

　公立 高知工科大学 2012年 第4問

2つの関数
\begin{eqnarray}
&&f(x)=\frac{sinx}{1+cosx}(　定義域は　-π＜x＜π)\nonumber\\
&&g(x)=∫0x\frac{2}{1+t2}dt(　定義域は実数全体　)\nonumber
\end{eqnarray}
と，これらの合成関数h(x)=g(f(x))を考える．次の各問に答えよ．
(1)f(x),g(x),h(x)のそれぞれの導関数を求めよ．
(2)h(x)を求めよ．
(3)定積分∫0^{\frac{1}{2+√3}}\frac{2}{1+t2}dtの値を求めよ．

　公立 大阪府立大学 2012年 第4問

aを正の定数とする．実数の変数xの関数f(x)=(x+a)e^{2x2}について，以下の問いに答えよ．
(1)一階導関数f´(x)はある多項式g(x)によりf´(x)=g(x)e^{2x2}と表され，二階導関数f^{\prime\prime}(x)はある多項式h(x)によりf^{\prime\prime}(x)=h(x)e^{2x2}と表される．g(x),h(x)を求めよ．
(2)関数f(x)が極大値と極小値をもつためのaの値の範囲を求めよ．
(3)aが(2)で求めた範囲にあるとする．関数f(x)が極大値をとるxの値をαとし，極小値をとるxの値をβと・・・

　公立 奈良県立医科大学 2012年 第1問

実数p,qに対して，xの3次関数f_{p,q}(x)をf_{p,q}(x)=x3+px+qによって定める．実数p,qは，3次関数f_{p,q}(x)が以下の3条件を満たすような範囲を動くとする．
条件(i)：f_{p,q}(1)=1
条件(ii)：f´_{p,q}(0)＜0（ただし，f´_{p,q}(x)はf_{p,q}(x)の導関数を表す．）
条件(iii)：x≧0のとき，f_{p,q}(x)≧0
このとき，定積分
I(p,q)=∫01f_{p,q}(x)dx
を最大にするようなp,qの値，お・・・

　公立 北九州市立大学 2012年 第3問

関数y=f(x)=e^{-\frac{x2}{2}}について，以下の問いに答えよ．
(1)第1次導関数y´を求めよ．
(2)第2次導関数y^{\prime\prime}を求めよ．
(3)関数y=f(x)の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．

　国立 東京大学 2011年 第1問

xの3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dが，3つの条件
f(1)=1,f(-1)=-1,∫_{-1}^{1}(bx2+cx+d)dx=1
を全て満たしているとする．このようなf(x)の中で定積分
I=∫_{-1}^{1/2}{f^{\prime\prime}(x)}2dx
を最小にするものを求め，そのときのIの値を求めよ．ただし，f^{\prime\prime}(x)はf´(x)の導関数を表す．

　国立 香川大学 2011年 第4問

a,b,cを定数とし，a＞0とする．3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+1の導関数をf^{\prime}(x)とする．相異なる実数p,qで定まる3つの数
A=\frac{f^{\prime}(p)+f^{\prime}(q)}{2},B=f^{\prime}\biggl(\frac{p+q}{2}\biggr),C=\frac{f(p)-f(q)}{p-q}
について，次の問いに答えよ．
(1)Aをa,b,c,p,qを用いて表せ．
(2)A,B,Cの大小関係を調べよ．