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a,b,cを定数とし，a＞0とする．3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+1の導関数をf^{\prime}(x)とする．相異なる実数p,qで定まる3つの数
A=\frac{f^{\prime}(p)+f^{\prime}(q)}{2},B=f^{\prime}\biggl(\frac{p+q}{2}\biggr),C=\frac{f(p)-f(q)}{p-q}
について，次の問いに答えよ．
(1)Aをa,b,c,p,qを用いて表せ．
(2)A,B,Cの大小関係を調べよ．
国立 佐賀大学 2011年 第3問関数
f(t)=∫1t\frac{logx}{x+t}dx(t＞0)
を考える．ただし，対数は自然対数とする．
(1)この定積分をx=tyによって置換することにより，
f(t)=logt∫_{t^{-1}}1\frac{1}{y+1}dy+∫_{t^{-1}}1\frac{logy}{y+1}dy
を示せ．
(2)d/dt∫_{t^{-1}}1\frac{logy}{y+1}dy=-\frac{logt}{t(t+1)}を示せ．
(3)導関数f^{\prime}(t)を求めよ．
(4)関数f(t)の極値を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2011年 第1問以下の問に答えよ．
(1)a,b,cは正の整数で，a＜b＜c,a+b＜cを満たすものとする．このとき整式ax2-(a2+ab)x+a2b-174がx-cで割り切れるような(a,b,c)の組があればすべて求めよ．
(2)α=1+√3i,β=1-√3iのとき
(\frac{β2-4β+8}{α^{n+2}-α^{n+1}+2αn+4α^{n-1}+α3-2α2+5α-2})3
はいくらか．ただし，nは2以上の自然数，iは虚数単位とする．
(3)y=cosx(0≦x≦π)の逆関数をy=f(x)とお・・・
国立 宇都宮大学 2011年 第4問関数f(x)はf(0)=bをみたし，その導関数は
f´(x)=(x-1)(x-a)
であるとする．ただし，aとbは定数である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線y=f(x)上の点(0,b)における接線の方程式を求めよ．
(2)f(x)をxの整式で表せ．
(3)f(x)の極大値が40，極小値が4であるとき，定数aとbの値を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第1問関数f(x)=x+cos(2x)がある．
(1)f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)f(x)の第2次導関数f^{\prime\prime}(x)を求めよ．
(3)曲線y=f(x)( ただし， 0≦x≦π/2)の増減表を書け．増減表には，増減のほか，凹凸についても明示すること．
(4)曲線y=f(x)( ただし， 0≦x≦π/2)のグラフを描け．
国立 奈良教育大学 2011年 第3問次の設問に答えよ．
(1)関数f(x)=1/2(x-1/x)(x＞0)の逆関数を求めよ．
(2)関数g(x)=1/2(ex-e^{-x})の逆関数h(x)を求めよ．
(3)上で求めた関数h(x)の導関数を求めよ．
国立 佐賀大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)定義に基づいて次の関数の導関数を求めよ．
\setcounter{tokeikobango}{0}
\mon[\Tokeiko]f(x)=x2
\mon[\Tokeiko]f(x)=1
(2)次の等式を満たす関数f(x)，および定数aを求めよ．
∫axf(t)dt=x2-1
(3)等式f(x)=x2-∫_{-1}1f(t)dtを満たす関数f(x)を求めよ．
国立 高知大学 2011年 第3問連続関数f(x)に対して，
g(x)=∫0x(f(t)+2)sin(x-t)dt
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)定積分∫0x(t+2)sin(x-t)dtを求めよ．
(2)g(x)=sinx∫0x(f(t)+2)costdt-cosx∫0x(f(t)+2)sintdtを示せ．
(3)関数g(x)の導関数g´(x)はg´(x)=∫0x(f(t)+2)cos(x-t)dtとなることを示せ．
(4)関数g´(x)の導関数g^{\prime\prime}(x)はg^{\prime\prime}(x)=f(x)-g(x・・・
国立 宮城教育大学 2011年 第4問関数f(x)=e^{3x}+e^{-3x}-12(ex+e^{-x})を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)g(x)=ex-e^{-x}とおく．関数g(x)は単調増加であることを示せ．
(2)u=g(x)とおくとき，f(x)の導関数f´(x)をuを用いて表せ．
(3)関数y=f(x)の増減，極値を調べ，そのグラフをかけ．
私立 立教大学 2011年 第1問次の空欄ア～セに当てはまる数を記入せよ．
(1)(x+1)5のx3の係数は[ア]である．
(2)中心をOとする円の円周上に異なる2点A，Bがあり，AB=3とするとき，ベクトルABとベクトルAOの内積は，[イ]である．
(3)y=x2+px+q(pq≠0)のグラフが点(1,1)を通り，x軸に接するとき，p=[ウ]，q=[エ]である．
(4)120人の学生の通学手段について調査したところ，電車を利用する学生が83人，バスを利用する学生が48人，電車もバスも・・・
