「導関数」について

　国立 大分大学 2010年 第3問

微分可能な関数y=f(x)が次の方程式を満たすとする．
anf^{(n)}(x)+a_{n-1}f^{(n-1)}(x)+・・・+a1f^{(1)}(x)+a0f(x)=0(　A　)
ここにnは自然数，ai(i=0,1,2,・・・,n)は実数の定数で，an≠0である．また，y^{(k)}=f^{(k)}(x)はf(x)のk次導関数でy^{(0)}=f^{(0)}(x)=f(x)とする．(A)のような方程式を第n階微分方程式といい，(A)に対してtのn次方程式
antn+a_{n-1}t^{n-1}+・・・+a1t+a0=0(　B　)
を(A)の特性方程式という．このとき次の問いに答えよ．
\begin・・・

　国立 鳥取大学 2010年 第3問

定積分In=∫1e(logx)ndxについて，次の問いに答えよ．ただし，nは自然数，eは自然対数の底とする．
(1)関数f(x)=x(logx)nの導関数を求めよ．
(2)I1を求めよ．
(3)InとI_{n+1}の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いてI4を求めよ．

　国立 鳥取大学 2010年 第2問

定積分In=∫1e(logx)ndxについて，次の問いに答えよ．ただし，nは自然数，eは自然対数の底とする．
(1)関数f(x)=x(logx)nの導関数を求めよ．
(2)I1を求めよ．
(3)InとI_{n+1}の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いてI4を求めよ．

　国立 鹿児島大学 2010年 第4問

aを正の定数とし，関数
f(x)=(x-a)e^{-x}
について，次の各問いに答えよ．ただしeは自然対数の底である．
(1)関数f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)関数f(x)の第2次導関数f^{\prime\prime}(x)を求めよ．
(3)関数f(x)の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(4)nを正の整数とする．曲線y=f(x)とx軸および直線x=a+nとで囲まれた部分の面積Snをnとaで表せ．また，\lim_{n→∞}Snを求めよ．

　国立 長岡技術科学大学 2010年 第2問

関数f(x)=(ax+b)e^{-3x}について以下の問いに答えなさい．
(1)導関数f´(x)をf´(x)=(cx+d)e^{-3x}と表すとき，(\begin{array}{c}
c\
d
\end{array})=A(\begin{array}{c}
a\
b
\end{array})となる2×2行列Aを求めなさい．
(2)(1)の行列Aの逆行列を求めなさい．
(3)不定積分∫xe^{-3x}dxを求めなさい．

　国立 滋賀医科大学 2010年 第4問

2回微分可能な関数f(x)，すなわちf(x)の導関数f´(x)及びf´(x)の導関数f^{\prime\prime}(x)が存在する関数が，すべての実数xについて
f´(x)＞f^{\prime\prime}(x)
を満たしている．また，a＜bとする．
(1)\frac{f´(a)}{ea}＞\frac{f´(b)}{eb}を示せ．
(2)\frac{f´(a)}{ea}＞\frac{f(b)-f(a)}{eb-ea}＞\frac{f´(b)}{eb}を示せ．
(3)すべての実数xについてf(x)＞0であるとき，すべての実数xについて
f(x)＞f^\pri・・・

　国立 京都教育大学 2010年 第5問

太郎君は関数f(x)をxについて微分して導関数f´(x)=6x+6を得た．次の(1)，(2)に答えよ．
(1)次の(a)，(b)のそれぞれの場合において，元の関数f(x)を求めよ．
\mon[(a)]y=f(x)が表す曲線と直線y=2が接する場合．
\mon[(b)]y=f(x)とx軸とで囲まれる図形の面積が\frac{4√3}{9}になる場合．
(2)太郎君の話を聞いた花子さんは，次の①から⑤の付加条件を1つだけ加えて元の関数f(x)を求めることにした．
\begin{screen}
{\・・・

　国立 宮城教育大学 2010年 第4問

関数f(x)=\frac{x+2}{x2+4a}を考える．ただし，aは1≦a＜2をみたす定数とする．導関数f´(x)に対して，f´(x)=0となるxのうち正のものをβとする．次の問いに答えよ．
(1)x≧0におけるf(x)の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)f(x)=f(a)をみたすxを求めよ．
(3)a-1＜\frac{2a}{2+a}およびβ＜aを示せ．
(4)a-1≦x≦aにおいて，f(x)の最小値が4/9であるとき，f(x)の最大値を求めよ．

　国立 宮城教育大学 2010年 第5問

関数f(x)=∫_αx(t-α)cos(x-t)dtを考える．ただし，αは定数とする．次の問いに答えよ．
(1)xを定数とみて，u=x-tとおく．置換積分法を用いて，
∫_αx(t-α)cos(x-t)dt=∫0^{x-α}(x-α-u)cosudu
となることを示せ．
(2)導関数f´(x)を求めよ．
(3)関数f(x)を求めよ．
(4)曲線y=f(x)(α≦x≦α+2π)とx軸で囲まれた部分を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．
\end{・・・

　国立 豊橋技術科学大学 2010年 第3問

y=f(x)=(x+2)e^{-x}を曲線A，y=ax+2aを直線Bとする（ただし，aはa≠0の実数）．以下の問いに答えよ．
(1)f(x)の極値を求めよ．
(2)f(x)の増減表を示せ．ただし，f(x)の第2次導関数まで求め，変曲点も増減表に示せ．
(3)曲線Aが直線Bに接するとき，aの値を求めよ．
(4)曲線Aと直線Bが接するとき，曲線Aと直線Bおよびy軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ．