「導関数」について

　私立 駒澤大学 2015年 第1問

次の[]を埋めよ．
(1)円x2+y2=5と直線y=x+kが共有点をもつとき，定数kの範囲は，
-\sqrt{[ア][イ]}≦k≦\sqrt{[ア][イ]}
である．
(2)関数f(x)=x3-3x2-72x+18の導関数は
f´(x)=[ウ]x^{\mkakko{エ}}-[オ]x-[カ][キ]
となる．また，関数f(x)はx=[ク][ケ]のとき極大値[コ][サ][シ]をとり，x=[ス]のとき極小値\kakkofour{セ}{ソ}{タ}{チ}をとる．
(3)平面上に3点O(0,0)，\ten{A・・・

　公立 高知工科大学 2015年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)f(x)=|2x+3|のときf(-3)+f(0)+f(3)の値を求めよ．
(2)方程式log2(x-1)+log2(x+2)=2を解け．
(3){\begin{array}{l}
sinx+cosy=1\
cosx+siny=1/2
\end{array}.のときsin(x+y)の値を求めよ．
(4)a,b,xを実数とする．命題
x2-(a+b)x+ab≦0⇒x2＜2x+3
が真となるような定数a,bの満たすべき条件を求めよ．ただし，a≦bとする．
(5)aを定数とし，関数y=f(x)はx=aで微分・・・

　公立 高知工科大学 2015年 第2問

関数f(x)=\frac{2x}{x2+1}について，次の各問に答えよ．
(1)導関数f´(x)を求めよ．
(2)関数f(x)の最大値と最小値，およびそのときのxの値を求めよ．
(3)不定積分∫f(x)dxを求めよ．
(4)実数a,bが条件-2≦a≦b≦2を満たして変化するとき，定積分∫abf(x)dxの最大値とそのときのa,bの値を求めよ．

　国立 静岡大学 2014年 第3問

f(x)とg(x)はxの整式で
\begin{array}{l}
f(x)-f(0)=4x3-5x2+2x,\
(2x-1){g(x)-g(0)}=f(x)+2∫0x(x-t)g´(t)dt+∫02g(t)dt
\end{array}
を満たすとする．ただし，g´(t)はg(t)の導関数である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)等式
-{g(x)-g(0)}=f(x)-2∫0xtg´(t)dt+∫02g(t)dt
が成り立つことを示せ．
(2)f(x)が極小値9/4をとるとき，f(x)とg(x)を求めよ．

　国立 信州大学 2014年 第2問

関数f(x)=∫x^{x+1}|log(2-t)|dt(0＜x＜1)について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．
(1)f(x)の導関数を求めよ．
(2)f(x)を最小にするxの値を求めよ．

　国立 信州大学 2014年 第4問

f(x)=log(x+\sqrt{x2+1})とし，曲線y=f(x)をCとする．ただし，対数は自然対数である．
(1)f(x)の導関数を求めよ．
(2)曲線Cと直線y=1の交点Pの座標を求めよ．
(3)曲線C，直線y=1およびy軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．

　国立 旭川医科大学 2014年 第1問

関数f(x)=log(1+x2)について，次の問いに答えよ．
(1)∫01log(1+x2)dxを求めよ．
(2)導関数f´(x)の増減を調べ，y=f´(x)のグラフの概形をかけ．
(3)曲線C:y=f(x)と曲線Cの互いに直交している2本の接線とで囲まれる図形の面積Sを求めよ．

　国立 琉球大学 2014年 第3問

整数m,nはm≧1，n≧2をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)x＞0のとき，y=logxの第1次導関数y´と第2次導関数y^{\prime\prime}を求めよ．
(2)座標平面上の3点A(m,logm)，B(m+1,logm)，C(m+1,log(m+1))を頂点とする三角形の面積をSmとする．Smをmを用いて表せ．
(3)f(m)=logm+Sm-∫m^{m+1}logxdxとおく．f(m)＜0が成り立つことを，y=logxのグラフを用いて説明せよ．
(4)f(1)+f(2)+・・・+f・・・

　国立 弘前大学 2014年 第2問

f(x)=x/{2x}とし，f´(x)をf(x)の導関数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)定数cを0≦c≦2とする．このとき，0≦x≦2を満たすxに対して，不等式
f(x)≦f´(c)(x-c)+f(c)
が成り立つことを示せ．また，等号が成立するのはどのようなときか述べよ．
(2)nを自然数とする．x1,x2,・・・,xnは0以上の実数で，x1+x2+・・・+xn=2を満たすとする．このとき，不等式
f(x1)+f(x2)+・・・+f(xn)≦nf・・・

　国立 福島大学 2014年 第2問

f(x)=\frac{ex-e^{-x}}{ex+e^{-x}}とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)\lim_{x→∞}f(x),\lim_{x→-∞}f(x)の値をそれぞれ求めなさい．
(2)f(x)の導関数f´(x)を求めなさい．
(3){f}´(x)をf(x)を用いた式で表しなさい．
(4)G(a)=∫_{-a}a\frac{1-{f(x)}2}{2}dxとするとき，\lim_{a→∞}G(a)の値を求めなさい．