「導関数」について

　公立 横浜市立大学 2014年 第2問

ある開区間Dで与えられた関数f(x)は，2階微分可能で，第2次導関数f^{\prime\prime}(x)は連続で，更にf^{\prime\prime}(x)＜0と仮定する．以下の問いに答えよ．
(1)a1＜a2＜a3を満たすDのa1,a2,a3に対して
\frac{f(a2)-f(a1)}{a2-a1}＞\frac{f(a3)-f(a2)}{a3-a2}
を示せ．
(2)x1,x2をDの実数とする．0≦α≦1を満たすαに対して
f(αx1+(1-α)x2)≧αf(x1)+(1-α)f(x2)
を示せ．
(3)x1,x2,x3をDの実・・・

　公立 横浜市立大学 2014年 第3問

aを正の実数とする．放物線y2=4ax上に2点O(0,0)とA(x1,y1)をとる．y1＞0として，以下の問いに答えよ．
(1)α＞0として，関数F(t)を
F(t)=1/2{t\sqrt{t2+α}+αlog(t+\sqrt{t2+α})}
とおく．導関数F´(t)を求めよ．
(2)点Oから点Aまでの曲線の長さLをx1の関数として表せ．ただし，x=0で値が発散する関数g(x)については
∫0ag(x)dx=\lim_{s→+0}∫sag(x)dx
と解釈する（a＞s＞0・・・

　公立 横浜市立大学 2014年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)関数tanxの導関数を求めよ．
(2)不定積分∫tanxdxを求めよ．
(3)X=cos(x/2-π/4)とおくとき，1+sinxをXを用いて表せ．
(4)不定積分∫\frac{dx}{1+sinx}を求めよ．
(5)定積分∫0^{π/2}\frac{x}{1+sinx}dxの値を求めよ．

　公立 名古屋市立大学 2014年 第4問

x≧0で定義される関数f(x)=xe^{x/2}について次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)f(x)の第1次導関数をf´(x)，第2次導関数をf^{\prime\prime}(x)とする．f´(2)，f^{\prime\prime}(2)を求めよ．
(2)f(x)の逆関数をg(x)，g(x)の第1次導関数をg´(x)，第2次導関数をg^{\prime\prime}(x)とする．g´(2e)，g^{\prime\prime}(2e)を求めよ．

　公立 北九州市立大学 2014年 第2問

2つの曲線C1:f(x)=x3-xとC2:g(x)=x3+x2+axについて考える．ただし，aは定数である．曲線C1上の点A(1/2,-3/8)における接線をℓとし，点Aと異なる点B(p,q)において曲線C1と直線ℓは交わっている．以下の問題に答えよ．
(1)曲線C1を原点に関して対称移動したグラフはC1自身であることを証明せよ．
(2)直線ℓの方程式とp,qの値を求めよ．
(3)関数f(x)のp≦x≦1/2における最大値・・・

　国立 北海道大学 2013年 第5問

区間-∞＜x＜∞で定義された連続関数f(x)に対して
F(x)=∫0^{2x}tf(2x-t)dt
とおく．
(1)F(x/2)=∫0x(x-s)f(s)dsとなることを示せ．
(2)2次導関数F^{\prime\prime}をfで表せ．
(3)Fが3次多項式でF(1)=f(1)=1となるとき，fとFを求めよ．

　国立 大阪大学 2013年 第1問

三角関数の極限に関する公式
\lim_{x→0}\frac{sinx}{x}=1
を示すことにより，sinxの導関数がcosxであることを証明せよ．

　国立 新潟大学 2013年 第5問

微分可能な関数f(x)が，すべての実数x,yに対して
f(x)f(y)-f(x+y)=sinxsiny
を満たし，さらにf´(0)=0を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)f(0)を求めよ．
(2)関数f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(3)定積分∫0^{π/3}\frac{dx}{f(x)}を求めよ．

　国立 静岡大学 2013年 第4問

関数
c(x)=1/2(e^{2x}+e^{-2x}),s(x)=1/2(e^{2x}-e^{-2x}),t(x)=\frac{s(x)}{c(x)}
に対して，次の問いに答えよ．
(1){c(x)}2-{s(x)}2を計算せよ．
(2)導関数c´(x),s´(x),t´(x)を，それぞれc(x)またはs(x)を用いて表せ．
(3)t(log√2)とt(log√3)の値を求めよ．
(4)定積分∫_{log√2}^{log√3}t(x)dxと∫_{log√2}^{log√3}{t(x)}2dxを求め・・・

　国立 愛知教育大学 2013年 第8問

Oを原点とする座標平面上を動く点Pの時刻tにおける座標P(x(t),y(t))が
{\begin{array}{l}
x(t)=etcost\
y(t)=etsint
\end{array}.
で与えられている．
(1)時刻tにおける点Pの速度ベクトルベクトルv1(t)=(x´(t),y´(t))は，ある2×2行列Aによって
(\begin{array}{c}
x´(t)\
y´(t)
\end{array})=A(\begin{array}{c}
x(t)\
y(t)
\end{array})
と表すことができる・・・