「導関数」について

　公立 広島市立大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次の関数の導関数を求めよ．
(i)y=\sqrt{2-x3}
(ii)y=x2cos(√2x)
(iii)y=\frac{ex-2}{ex+2}
(2)次の不定積分，定積分を求めよ．
(i)∫\frac{x2}{2-x}dx
(ii)∫\sqrt[3]{x5+x3}dx
(iii)∫01(1-x)cos(πx)d・・・

　公立 富山県立大学 2013年 第3問

x≧0とする．関数f(x)=e^{-2x3}，g(x)=xe^{-x3}について，次の問いに答えよ．ただし，\lim_{x→∞}g(x)=0は証明なしに用いてよい．
(1)導関数f´(x)を求めよ．
(2)y=g(x)の増減，極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(3)a≧0とし，曲線y=g(x)とx軸および2直線x=a，x=a+1で囲まれた部分を，x軸の周りに1回転させてできる立体の体積をV(a)とする．このとき，極限値\lim_{a→∞}e^{2a3}V(a)を求めよ．
\end・・・

　公立 横浜市立大学 2013年 第2問

aを正の定数とする．nを0以上の整数とし，多項式Pn(x)をn階微分を用いて
Pn(x)=\frac{dn}{dxn}(x2-a2)n(n≧1),P0(x)=1
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)n=2およびn=3に対して
P2(-a),P3(-a)
を求めよ．
(2)u=u(x)，v=v(x)を何回でも微分可能な関数とする．そのとき，{\bfライプニッツの公式}
(uv)^{(n)}=\comb{n}{0}u^{(n)}v+\comb{n}{1}u^{(n-1)}v´+・・・+\comb{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}+・・・+\comb{n}{n-1}u´v^{(n-1)}+\comb{n}・・・

　公立 横浜市立大学 2013年 第1問

a,b,cは正の実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)関数
\sqrt{x(a+x)}-alog(√x+\sqrt{x+a})
の導関数を求めよ．
(2)部分積分を用いて
∫\sqrt{x(bx+c)}dx=1/2x\sqrt{x(bx+c)}+c/4∫\sqrt{\frac{x}{bx+c}}dx(x＞0)
が成り立つことを示せ．
(3)不定積分∫\sqrt{x(2x+1)}dx(x＞0)を求めよ．

　公立 福島県立医科大学 2013年 第1問

以下の各問いに答えよ．
(1)座標平面上の直線x+2y=6上にあって，点(2,-3)との距離が最小になる点の座標を求めよ．
(2)座標平面上の曲線C:x2+xy+y2=3について，以下の問いに答えよ．
(i)原点のまわりの{45}°の回転移動によって，C上の各点が移る曲線の方程式を求めよ．
(ii)曲線Cで囲まれた図形のうち，y≧0の領域に含まれる部分の面積を求めよ．
(3)座標平面上において，曲線C1:y=xlogx(x≧1)と放物線C_・・・

　国立 埼玉大学 2012年 第4問

下記の設問に答えなさい．
(1)aを定数とする．次の関数f(x)の導関数f^{\prime}(x)を求めなさい．
f(x)=∫ax(t2+a2t)dt+∫0a(t2+ax)dt
(2)次の関係式をみたす定数aおよび関数g(x)を求めなさい．
∫ax(g(t)+tg(a))dt=x2-2x-3

　国立 神戸大学 2012年 第4問

自然対数の底をeとする．以下の問に答えよ．
(1)e＜3であることを用いて，不等式log2＞3/5が成り立つことを示せ．
(2)関数f(x)=\frac{sinx}{1+cosx}-xの導関数を求めよ．
(3)積分
∫0^{π/2}\frac{sinx-cosx}{1+cosx}dx
の値を求めよ．
(4)(3)で求めた値が正であるか負であるかを判定せよ．

　国立 千葉大学 2012年 第9問

以下の問いに答えよ．
(1)関数f(x)は第2次導関数f^{\prime\prime}(x)が連続で，あるa＜bに対して，f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0を満たしているものとする．このとき
f(b)-f(a)=∫ab(\frac{a+b}{2}-x)f^{\prime\prime}(x)dx
が成り立つことを示せ．
(2)直線道路上における車の走行を考える．ある信号で停止していた車が，時刻0で発進後，距離Lだけ離れた次の信号に時刻Tで到達し再び停止した．この間にこの車の加速度の絶対値が\frac{4L}{T2}以上である瞬間が・・・

　国立 熊本大学 2012年 第3問

2つの関数f(x)=∫0xet(sint+cost)dtとg(x)=∫0xet(cost-sint)dtについて，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)とg(x)を求めよ．
(2)f^{(n)}(x)とg^{(n)}(x)をそれぞれf(x)とg(x)の第n次導関数とする．
(3)n≧2のとき，f^{(n)}(x)およびg^{(n)}(x)を，f^{(n-1)}(x)とg^{(n-1)}(x)を用いて表せ．
(4){f^{(n)}(x)}2+{g^{(n)}(x)}2を求めよ．
(5)実数aについて，Σ_{n=1}^∞\f・・・

　国立 佐賀大学 2012年 第2問

0以上の整数nに対して，fn(x)=\frac{xne^{-x}}{n!}とおく．ただし，0!=1とし，eは自然対数の底とする．次の問いに答えよ．
(1)n≧1のとき，fn(x)の導関数をfn(x),f_{n-1}(x)を用いて表せ．
(2)Σ_{k=0}nfk(x)の導関数を求めよ．
(3)∫01fn(x)dxを求めよ．
(4)e＞Σ_{k=0}n1/k!を示せ．