「常に」について

　国立 東京海洋大学 2015年 第2問

等式
f(x)+∫12(x-kt)f(t)dt=17x-28・・・・・・(*)
について，次の問に答えよ．
(1)k=1のとき，(*)を満たす関数f(x)を求めよ．
(2)k=30/17のとき，(*)を満たす関数f(x)に対して，y=f(x)のグラフは常にある定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．

　国立 富山大学 2015年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)は区間[a,b]で連続であり，区間(a,b)で第2次導関数f^{\prime\prime}(x)をもつとする．さらに，区間(a,b)でf^{\prime\prime}(x)＜0が成り立つとする．y=g(x)を2点(a,f(a))，(b,f(b))を通る直線の方程式とするとき，区間(a,b)で常にf(x)＞g(x)であることを示せ．
(2)nを2以上の自然数とするとき，j=1,2,・・・,n-1について
\frac{logj+log(j+1)}{2}＜∫j^{j+1}logxdx
が成り立つことを示せ．
(3)nを2以上の自然数・・・

　国立 富山大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)は区間[a,b]で連続であり，区間(a,b)で第2次導関数f^{\prime\prime}(x)をもつとする．さらに，区間(a,b)でf^{\prime\prime}(x)＜0が成り立つとする．y=g(x)を2点(a,f(a))，(b,f(b))を通る直線の方程式とするとき，区間(a,b)で常にf(x)＞g(x)であることを示せ．
(2)nを2以上の自然数とするとき，j=1,2,・・・,n-1について
\frac{logj+log(j+1)}{2}＜∫j^{j+1}logxdx
が成り立つことを示せ．
(3)nを2以上の自然数・・・

　国立 高知大学 2015年 第2問

関数f(x)=nx2-2(a1+a2+・・・+an)x+({a1}2+{a2}2+・・・+{an}2)を考える．ただし，nは正の整数で，a1,a2,・・・,anは実数である．次の問いに答えよ．
(1)n=1およびn=2のとき，常にf(x)≧0であることを示せ．
(2)すべてのnに対し，常にf(x)≧0であることを示せ．
(3){(a1+a2+・・・+an)}2≦n({a1}2+{a2}2+・・・+{an}2)であることを示せ．
(4){(a1+a2+・・・+an)}2=n({a1}2+{a2}2+・・・+{an}2)であれば，a1,a2,・・・,a_・・・

　国立 千葉大学 2015年 第5問

関数f(x)=|x+2sin(x+a)+b|の0≦x≦2πでの最大値と最小値の差は，定数a,bによらず常にπ以上で，かつ(\frac{4π}{3}+2√3)以下であることを示せ．

　私立 東北工業大学 2014年 第4問

3次関数f(x)=x3-ax2-3bx-10がある．
(1)関数f(x)がx=-2,4で極値をとるならば，a=[マ][ミ]，b=[ム][メ]である．
(2)関数y=f(x)のグラフが点(3,-1)を通り，この点における接線の傾きが3であるならば，a=[モ][ヤ]，b=-[ユ][ヨ]である．
(3)a+b=0のとき，関数f(x)が常に増加するならば，0≦a≦[ラ][リ]である．

　私立 昭和大学 2014年 第2問

平面上に2点A(-2,0)，B(0,0)および直線ℓ:x+y=2がある．直線ℓ上に点P(t,-t+2)をとる．次の各問に答えよ．
(1)∠APB=θとおく．このとき，常に0≦θ＜π/2となることがわかっている．
(1-1)t=-2のとき，tanθの値を求めよ．
(1-2)tanθをtを用いて表せ．
(2)∠APB=θを最大にする点Pの座標，およびそのときのtanθの値を求めよ．
\en・・・

　私立 倉敷芸術科学大学 2014年 第3問

f(x)=ax2+bxは，x=1,-1で整数値をとり，f(1)=r，f(-1)=sとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)a,bをr,sの式で表わせ．
(2)整数nに対して，f(n)をn,r,sの式で表わせ．
(3)nが整数のとき，f(n)は常に整数になることを示せ．

　私立 東京薬科大学 2014年 第4問

中心O，半径1の円周上に定点Aと動点P，Qがあり，P，Qは常に∠PAQ={120}°を満たしながら動いている．∠OAP=θとして次の各問に答えよ．ただし，*については+,-の1つが入る．
(1)θの動ける範囲は{[あい]}°＜θ＜{[うえ]}°である．
(2)AP，AQをsinθ，cosθを用いて表すと，
AP=[お]cosθ,AQ=\sqrt{[か]}\si・・・

　私立 東京薬科大学 2014年 第5問

kを正の定数として，放物線C:y=x2と直線ℓn:y=anx+kan-{an}2を考える．Cとℓnの共有点の個数をa_{n+1}として数列{an}を定める．ただし，以下では常にa1=0とする．ただし，*については+,-の1つが入る．
(1)k=1のとき，a2=[と]，a3=[な]である．
(2)k=1のとき，Σ_{n=1}^{100}an=[にぬ]である．また，Cとℓnの共有点の個数が2であるとき，両者で囲まれる部分の面積は\frac{[ね]}{[の]}で・・・