「平均値の定理」について

　国立 九州工業大学 2013年 第2問

関数f(x)=log(x2-x+2)(0≦x≦1)に対して，以下の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数を表している．
(1)y=f(x)(0≦x≦1)の極値を求めよ．
(2)xについての方程式log(x2-x+2)=xは1/2＜x＜1の範囲に実数解をただ1つもつことを示せ．必要であれば，log2＜0.7，log7＞1.9であることを用いてよい．
(3)y=f´(x)(0≦x≦1)の最大値と最小値を求めよ．
(4)平均値の定理を用いることで，0≦a＜b≦1となる実数a,b・・・

　私立 藤田保健衛生大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)m(x)=\frac{m0}{\sqrt{1-\frac{x}{c2}}}とする．ただしm0,cは正の定数である．またc2より十分小さい正の定数\varepsilonに対して0＜x＜\varepsilonとする．
(i)m´(x)=[]である．
(ii)m(x)-m0を平均値の定理を用いて表すと[*]である．ただし*を書き表わす際，新たに必要となる実数があればkを用い，kが満たすべき条件も明記せよ．
(iii)\varepsilon・・・

　国立 山口大学 2010年 第2問

次の初項と漸化式で定まる数列{an}を考える．
a1=1/2,a_{n+1}=e^{-an}(n=1,2,3,・・・)
ここで，eは自然対数の底で，1＜e＜3である．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数nについて1/3＜an＜1が成り立つことを示しなさい．
(2)方程式x=e^{-x}はただ1つの実数解をもつことと，その解は1/3と1の間にあることを示しなさい．
(3)関数f(x)=e^{-x}に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つこと・・・