「平均」について

　国立 茨城大学 2013年 第4問

a,bを実数として，関数f(x)=x3-ax2+bx+1について次の各問に答えよ．
(1)微分係数f´(0)，f´(1)をa,bを用いて表せ．
(2)f(x)が極大値と極小値をもつためのa,bの条件を求めよ．
(3)f(x)が極大値と極小値をもつとき，極大値と極小値の平均が1となるためのa,bの条件を求めて，ab平面上に図示せよ．

　国立 鹿児島大学 2013年 第7問

0,1,2,3,4の数字が1つずつ記入された5枚のカードがある．この5枚のカードの中から1枚引き，数字を記録して戻すという作業を3回繰り返す．ただし，3回ともどのカードを引く確率も等しいとする．記録した3つの数字の最小値をXとするとき，次の各問いに答えよ．
(1)k=0,1,2,3,4に対して確率P(X≧k)を求めよ．
(2)確率変数Xの確率分布を表で表せ．
(3)確率変数Xの平均（期待値）E(X)を求めよ．
(4)確率変数Xの分散V(X)を求めよ．

　国立 鹿児島大学 2013年 第8問

確率変数Xのとる値の範囲が0≦X≦2で，その確率密度関数f(x)が次の式で与えられるものとする．
f(x)={\begin{array}{ll}
k/ax&(0≦x≦a)\
\frac{k}{2-a}(2-x)&(a＜x≦2)
\end{array}.
ここで，a,kは0＜a＜1,k＞0を満たす定数である．次の各問いに答えよ．
(1)定数kの値を求めよ．
(2)Xの平均（期待値）E(X)をaを用いて表せ．
(3)P(X≦u)=0.5となる実数uをaを用いて表せ．

　私立 名城大学 2013年 第1問

次の[]に適切な答えを入れよ．
(1)f(x)はxのn次の多項式で，f´(x)f^{\prime\prime}(x)=f(x)およびf^{\prime\prime}(0)=1/2を満たすとする．このときn=[ア]であり，f(0)=[イ]である．
(2)さいころを3回投げ，出た目の最大値をXとする．このとき，X=3となる確率は[ウ]であり，Xの平均は[エ]である．

　国立 鹿児島大学 2012年 第8問

確率変数Zが標準正規分布N(0,1)に従うとき，
P(Z＞1.96)=0.025,P(Z＞2.58)=0.005,\frac{2.58}{1.96}\fallingdotseq1.32
であるとして，次の各問いに答えよ．
(1)確率変数Xのとる値xの範囲が-1≦x≦1で，その確率密度関数がf(x)=k(1-x2)で与えられている．このとき，定数kの値とXの平均を求めよ．
(2)母平均m，母標準偏差10の母集団から大きさ100の無作為標本を抽出し，その標本平均を\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}とする．標本の大きさ100は十分大きい数であるとみなせると・・・

　国立 帯広畜産大学 2012年 第1問

等式
\begin{array}{lrr}
c=sin2θ-2cosθ&&・・・・・・①\\
logy(x-3)+logy(x+1)-1=0(y＞0,y≠1)&&・・・・・・②
\end{array}
について，次の各問に解答しなさい．
(1)①式について，sinθ+cosθ=1とする．
(i)sinθとcosθのとりうる値を求めなさい．
(ii)cのとりうる値を求めなさい．
(iii)1個のサイコロを投げるとき，2以下の目が出ればsinθ=0・・・

　国立 福島大学 2012年 第3問

a1=2,a_{n+1}=-2an+3(n=1,2,3,・・・)で定められる数列{an}を次のような群に分ける．このとき，以下の問いに答えなさい．
\begin{array}{ccccc}
|a1,|&a2,a3,a4,|&a5,a6,a7,a8,a9,|&a_{10},a_{11},a_{12},a_{13},a_{14},a_{15},a_{16},|&a_{17},・・・\
\small　第1群　&\small　第2群　&\small　第3群　&\small　第4群　&\small　第5群　
\end{array}
(1)第10群に含まれる項の個数を求めなさい．
(2)数列{an}の一・・・

　国立 浜松医科大学 2012年 第2問

24時間診療業務を休みなく行う病院において，40日間で1万個使用される医療材料Aについて考える．Aの使用頻度は常に一定であり，1日の時間帯や曜日による変動は全くないものとする．さて，病院における在庫管理では，「品切れ」が起きないこと，「コスト」をできるだけ低くすること，この2つが肝要である．医療材料Aの保管費は，その保管期間に比例し，1個につき10日間で1円である．また，納入業者にAを注文すれば，注文量の多少に関わらず，品物が届いた時点で200円の事務費がかかる．なお，・・・

　国立 京都教育大学 2012年 第5問

関数f(x)=x2-2に対して，y=f(x)のグラフ上の点(a,f(a))における接線とx軸との交点のx座標をg(a)とおく．ただし，a＞0とする．またx1=4とし，n=1,2,3,・・・に対してx_{n+1}=g(xn)とおく．次の問に答えよ．
(1)y=f(x)のグラフ上の点(4,14)におけるグラフの接線の方程式を求めよ．
(2)どのような自然数nに対してもxn＞0であることを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)x3を求めよ．
(4)どのような自然数nに対してもx_{n+1}≧√2であることを，相加平均と相乗・・・

　私立 早稲田大学 2012年 第2問

次の問に答えよ．
(1)4個の数字2,4,9,12から重複を許して4個選ぶとき，選んだ4個の数の平均が8になる確率は[カ]である．
(2)A，Bの2人が1つのサイコロを1回ずつ交互に投げる．Aから始めてA，B，A，Bの順で1人2回，2人あわせて4回投げるものとする．
(3)先に2回偶数を出した人を勝ちとするとき，Bが勝つ確率は[キ]である．
(4)先に2回1の目を出した人を勝ちとするとき，\te・・・