「平行」について

　国立 広島大学 2015年 第1問

座標平面上の点P(1,1)を中心とし，原点Oを通る円をC1とする．kを正の定数として，曲線y=k/x(x＞0)をC2とする．C1とC2は2点で交わるとし，その交点をQ，Rとするとき，直線PQはx軸に平行であるとする．点Qのx座標をqとし，点Rのx座標をrとする．次の問いに答えよ．
(1)k,q,rの値を求めよ．
(2)曲線C2と線分OQ，ORで囲まれた部分の面積Sを求めよ．
(3)x=1+√2sin\・・・

　国立 埼玉大学 2015年 第2問

四面体ABCDがある．線分AB，BC，CD，DA上にそれぞれ点P，Q，R，Sがある．点P，Q，R，Sは同一平面上にあり，四面体のどの頂点とも異なるとする．このとき下記の設問に答えよ．
(1)PQとRSが平行であるとき，等式
AP/PB・BQ/QC・CR/RD・DS/SA=1
が成り立つことを示せ．
(2)PQと・・・

　国立 北海道大学 2015年 第1問

2つの放物線
C1:y=x2,C2:y=-(x-1)2
がある．aは0でない実数とし，C1上の2点P(a,a2)，Q(-2a,4a2)を通る直線と平行なC1の接線をℓとする．
(1)ℓの方程式をaで表せ．
(2)C2とℓが異なる2つの共有点をもつようなaの値の範囲を求めよ．
(3)C2とℓが異なる2つの共有点R，Sをもつとする．線分PQの長さと線分RSの長さが等しくなるとき，aの値を求めよ．

　国立 一橋大学 2015年 第3問

nを4以上の整数とする．正n角形の2つの頂点を無作為に選び，それらを通る直線をℓとする．さらに，残りのn-2個の頂点から2つの頂点を無作為に選び，それらを通る直線をmとする．直線ℓとmが平行になる確率を求めよ．

　国立 九州大学 2015年 第3問

座標空間内に，原点O(0,0,0)を中心とする半径1の球がある．下の概略図のように，y軸の負の方向から仰角π/6で太陽光線が当たっている．この太陽光線はベクトル(0,√3,-1)に平行である．球は光を通さないものとするとき，以下の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)球のz≧0の部分がxy平面上につくる影を考える．kを-1＜k＜1を満たす実数とするとき，xy平面上の直線x=kにおいて，球の外で光が当たらない部分のy座標の範囲をkを用いて表せ．
\・・・

　国立 神戸大学 2015年 第2問

座標平面上の楕円\frac{x2}{4}+y2=1をCとする．a＞2，0＜θ＜πとし，x軸上の点A(a,0)と楕円C上の点P(2cosθ,sinθ)をとる．原点をOとし，直線APとy軸との交点をQとする．点Qを通りx軸に平行な直線と，直線OPとの交点をRとする．以下の問に答えよ．
(1)点Rの座標を求めよ．
(2)(1)で求めた点Rのy座標をf(θ)とする．このとき，0＜θ＜πにおけるf(θ)の最大・・・

　国立 東京工業大学 2015年 第4問

xy平面上を運動する点Pの時刻t(t＞0)における座標(x,y)が
x=t2cost,y=t2sint
で表されている．原点をOとし，時刻tにおけるPの速度ベクトルをベクトルvとする．
(1)ベクトルOPとベクトルvのなす角をθ(t)とするとき，極限値\lim_{t→∞}θ(t)を求めよ．
(2)ベクトルvがy軸に平行になるようなt(t＞0)のうち，最も小さいものをt1，次に小さいものをt2とする．このとき，不等式t2-t1＜πを示せ・・・

　国立 熊本大学 2015年 第3問

aとbを正の実数とする．△ABCにおいて，∠Bと∠Cは鋭角とする．点Aを通り辺BCに直交する直線を引き，辺BCとの交点をX1とし，線分AX1の長さを1とする．また，BX1=a，CX1=bとする．各n=1,2,3,・・・に対して以下の操作を行う．
辺BC上の点Xnを通り辺ACに平行な直線を引き，辺ABとの交点をYnとする．また，点Ynを通り辺BCに平行な直・・・

　国立 熊本大学 2015年 第3問

△ABCにおいて，∠Bと∠Cは鋭角とする．点Aを通り辺BCに直交する直線を引き，辺BCとの交点をX1とし，線分AX1の長さを1とする．また，BX1=1，CX1=8とする．各n=1,2,3,・・・に対して以下の操作を行う．
辺BC上の点Xnを通り辺ACに平行な直線を引き，辺ABとの交点をYnとする．また，点Ynを通り辺BCに平行な直線を引き，辺ACとの・・・

　国立 熊本大学 2015年 第3問

△ABCにおいて，∠Bと∠Cは鋭角とする．点Aを通り辺BCに直交する直線を引き，辺BCとの交点をX1とし，線分AX1の長さを1とする．また，BX1=1，CX1=8とする．各n=1,2,3,・・・に対して以下の操作を行う．
辺BC上の点Xnを通り辺ACに平行な直線を引き，辺ABとの交点をYnとする．また，点Ynを通り辺BCに平行な直線を引き，辺ACとの・・・