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座標平面上の点P(1,1)を中心とし,原点Oを通る円をC1とする.kを正の定数として,曲線y=k/x(x>0)をC2とする.C1とC2は2点で交わるとし,その交点をQ,Rとするとき,直線PQはx軸に平行であるとする.点Qのx座標をqとし,点Rのx座標をrとする.次の問いに答えよ.
(1)k,q,rの値を求めよ.
(2)曲線C2と線分OQ,ORで囲まれた部分の面積Sを求めよ.
(3)x=1+√2sin\・・・
国立 埼玉大学 2015年 第2問四面体ABCDがある.線分AB,BC,CD,DA上にそれぞれ点P,Q,R,Sがある.点P,Q,R,Sは同一平面上にあり,四面体のどの頂点とも異なるとする.このとき下記の設問に答えよ.
(1)PQとRSが平行であるとき,等式
AP/PB・BQ/QC・CR/RD・DS/SA=1
が成り立つことを示せ.
(2)PQと・・・
国立 北海道大学 2015年 第1問2つの放物線
C1:y=x2,C2:y=-(x-1)2
がある.aは0でない実数とし,C1上の2点P(a,a2),Q(-2a,4a2)を通る直線と平行なC1の接線をℓとする.
(1)ℓの方程式をaで表せ.
(2)C2とℓが異なる2つの共有点をもつようなaの値の範囲を求めよ.
(3)C2とℓが異なる2つの共有点R,Sをもつとする.線分PQの長さと線分RSの長さが等しくなるとき,aの値を求めよ.
国立 一橋大学 2015年 第3問nを4以上の整数とする.正n角形の2つの頂点を無作為に選び,それらを通る直線をℓとする.さらに,残りのn-2個の頂点から2つの頂点を無作為に選び,それらを通る直線をmとする.直線ℓとmが平行になる確率を求めよ.
国立 九州大学 2015年 第3問座標空間内に,原点O(0,0,0)を中心とする半径1の球がある.下の概略図のように,y軸の負の方向から仰角π/6で太陽光線が当たっている.この太陽光線はベクトル(0,√3,-1)に平行である.球は光を通さないものとするとき,以下の問いに答えよ.
(プレビューでは図は省略します)
(1)球のz≧0の部分がxy平面上につくる影を考える.kを-1<k<1を満たす実数とするとき,xy平面上の直線x=kにおいて,球の外で光が当たらない部分のy座標の範囲をkを用いて表せ.
\・・・
国立 神戸大学 2015年 第2問座標平面上の楕円\frac{x2}{4}+y2=1をCとする.a>2,0<θ<πとし,x軸上の点A(a,0)と楕円C上の点P(2cosθ,sinθ)をとる.原点をOとし,直線APとy軸との交点をQとする.点Qを通りx軸に平行な直線と,直線OPとの交点をRとする.以下の問に答えよ.
(1)点Rの座標を求めよ.
(2)(1)で求めた点Rのy座標をf(θ)とする.このとき,0<θ<πにおけるf(θ)の最大・・・
国立 東京工業大学 2015年 第4問xy平面上を運動する点Pの時刻t(t>0)における座標(x,y)が
x=t2cost,y=t2sint
で表されている.原点をOとし,時刻tにおけるPの速度ベクトルをベクトルvとする.
(1)ベクトルOPとベクトルvのなす角をθ(t)とするとき,極限値\lim_{t→∞}θ(t)を求めよ.
(2)ベクトルvがy軸に平行になるようなt(t>0)のうち,最も小さいものをt1,次に小さいものをt2とする.このとき,不等式t2-t1<πを示せ・・・
国立 熊本大学 2015年 第3問aとbを正の実数とする.△ABCにおいて,∠Bと∠Cは鋭角とする.点Aを通り辺BCに直交する直線を引き,辺BCとの交点をX1とし,線分AX1の長さを1とする.また,BX1=a,CX1=bとする.各n=1,2,3,・・・に対して以下の操作を行う.
辺BC上の点Xnを通り辺ACに平行な直線を引き,辺ABとの交点をYnとする.また,点Ynを通り辺BCに平行な直・・・
国立 熊本大学 2015年 第3問△ABCにおいて,∠Bと∠Cは鋭角とする.点Aを通り辺BCに直交する直線を引き,辺BCとの交点をX1とし,線分AX1の長さを1とする.また,BX1=1,CX1=8とする.各n=1,2,3,・・・に対して以下の操作を行う.
辺BC上の点Xnを通り辺ACに平行な直線を引き,辺ABとの交点をYnとする.また,点Ynを通り辺BCに平行な直線を引き,辺ACとの・・・
国立 熊本大学 2015年 第3問△ABCにおいて,∠Bと∠Cは鋭角とする.点Aを通り辺BCに直交する直線を引き,辺BCとの交点をX1とし,線分AX1の長さを1とする.また,BX1=1,CX1=8とする.各n=1,2,3,・・・に対して以下の操作を行う.
辺BC上の点Xnを通り辺ACに平行な直線を引き,辺ABとの交点をYnとする.また,点Ynを通り辺BCに平行な直線を引き,辺ACとの・・・