「座標空間」について

　私立 立教大学 2015年 第1問

次の空欄[ア]～[コ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)2つの自然数p,qがp2+pq+q2=19を満たすとき，p+q=[ア]である．
(2)0≦θ＜2πのとき，sin2θ+cosθ-1の最大値は[イ]であり，最小値は[ウ]である．
(3)S=\frac{1}{1+√5}+\frac{1}{√5+√9}+\frac{1}{√9+\sqrt{13}}+・・・+\frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}とすると，Sの値は[エ]である．
(4)方程式log_{√2}(2-x)+log_・・・

　私立 上智大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)数列{an}の第1項から第n項までの和Snが3Sn=an+2n-1を満たすならば，
an=\frac{[ア]}{[イ]}(\frac{[ウ]}{[エ]})n+\frac{[オ]}{[カ]}
である．
(2)tを実数とする．座標空間において，点(2t,1,-t)を通りベクトル(-1,2,1)と平行な直線をℓとする．点Pの座標を(0,2,0)とする．
(i)点Pからℓに垂線PHを下ろすとき，
PH2=\・・・

　私立 上智大学 2015年 第2問

Oを原点とする座標空間において，OA=2，OB=1，ベクトルOA・ベクトルOB=-1を満たす点Aと点Bを考え，直線AB上に点Pをとる．ただし，AB＞APとする．
(1)OP⊥ABのとき，OP=\frac{\sqrt{[サ]}}{[シ]}である．
(2)△OBPが二等辺三角形であるとき，
OP2=1,AP=\frac{[ス]}{[セ]}\sqrt{[ソ]},
または
OP2=[タ]+\f・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第2問

次の問いに答えなさい．
(1)極限値\lim_{x→∞}{(\frac{x+3}{x-3})}xを求めなさい．
(2)座標空間において，点A(1,2,0)，B(2,3,-1)をとり，2点A，Bを通る直線をℓとする．実数tが定める点P(t,-t,3t)に対して，直線ℓ上に点Qを，線分PQと直線ℓが直交するようにとる．
(i)点Qの座標をtを用いて表しなさい．
(ii)tを変化させると・・・

　公立 首都大学東京 2015年 第2問

座標空間に3点O(0,0,0)，A(0,2,2)，B(3,-1,2)がある．三角形OABの周上または内部の点PはAP=√2，ベクトルOP⊥ベクトルAPを満たしているとする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)点Pの座標を求めなさい．
(2)三角形OBPの面積を求めなさい．
(3)点Qが点Aを中心とする半径√2の球面上を動くとき，点Bから直線OQに引いた垂線の長さの最小値を求めなさい．

　公立 大阪市立大学 2015年 第2問

Oを原点とする座標空間において四面体OABCを考える．△ABCの重心をO´，△OBCの重心をA´，△OCAの重心をB´，△OABの重心をC´とする．次の問いに答えよ．
(1)2つのベクトルベクトルOAと\overrightarrow{O´A´}は平行であることを示せ．
(2)|ベクトルOA|と|\overrightarrow{O´A´}|の比を求めよ．
(3)△\te・・・

　公立 愛知県立大学 2015年 第3問

座標空間において，3点O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(2,1,1)の定める平面をαとし，3点(0,0,0)，(0,1,1)，(1,0,1)の定める平面をβとする．また，平面αと平面βが交わってできる直線をℓとし，平面α上の点Pの座標を(2,-1,3)とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルOPをベクトルOA，ベクトルOBを用いて表せ．
(2)直線ℓ上の点をベクトルOA，ベクトルOBと実数kを用いて表せ．
(3)点P・・・

　国立 横浜国立大学 2014年 第3問

Oを原点とする座標空間に，4点
A(-2,1,3),B(s,3,-1),C(1,3,4),D(t,2t,2t)
がある．ただし，s,tは実数でt≠0である．Aを通りベクトルOCに平行な直線と，Bを通りベクトルODに平行な直線が点Pで交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)sの値およびPの座標を求めよ．
以下では△PAB　∽　△OCDを仮定する．
(2)tの値を求めよ．
(3)Dから平面・・・

　国立 横浜国立大学 2014年 第2問

Oを原点とする座標空間に，4点
A(-2,1,3),B(s,3,-1),C(1,3,4),D(t,2t,2t)
がある．ただし，s,tは実数でt≠0である．Aを通りベクトルOCに平行な直線と，Bを通りベクトルODに平行な直線が点Pで交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)sの値およびPの座標を求めよ．
以下では△PAB　∽　△OCDを仮定する．
(2)tの値を求めよ．
(3)Dから平面・・・

　国立 京都大学 2014年 第1問

座標空間における次の3つの直線ℓ，m，nを考える：
ℓは点A(1,0,-2)を通り，ベクトルベクトルu=(2,1,-1)に平行な直線である．
mは点B(1,2,-3)を通り，ベクトルベクトルv=(1,-1,1)に平行な直線である．
nは点C(1,-1,0)を通り，ベクトルベクトルw=(1,2,1)に平行な直線である．
Pをℓ上の点として，Pからm，nへ下ろした垂線の足をそれぞれQ，Rとする．このとき，\t・・・